многочлены, специальные системы многочленов { рп ( х )}; n 0, 1, 2,..., ортогональных с весом r( х ) на отрезке [ а , b ] (см. Ортогональная система функций ). Нормированная система О. м. обозначается через , а система О. м., старшие коэффициенты которых равны 1,- через . В краевых задачах математической физики часто встречаются системы О. м., для которых вес r( х ) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)
Многочлен рп ( х ) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению
где g n n [(a1 + ( n + 1)b2].
Наиболее важные системы О. м. (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а , b и r( х ).
1) Якоби многочлены { Рп (l,m)( х )} - при а -1, b 1 r( х ) (1- х )l (1 + x )m, l > -1, m > -1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям l и m: l m- ультрасферические многочлены (их иногда называют многочленами Гегенбауэра); l m -1/2, т. е. - Чебышева многочлены 1-го рода Tn ( x ); l m 1/2, т. е. - Чебышева многочлены 2-го рода Un ( x ); l m 0, т. е. r( х ) º 1 - Лежандра многочлены Рп ( х ).
2) Лагерра многочлены Ln ( x ) - при а 0, b + ¥ и r( х ) е-х (их наз. также многочленами Чебышева - Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра - при .
3) Эрмита многочлены Нn ( х ) - при а -¥, b + ¥ и (их называют также многочленами Чебышева - Эрмита).
О. м. обладают многими общими свойствами. Нули многочленов рn ( х ) являются действительными и простыми и расположены внутри [ а , b ]. Между двумя последовательными нулями многочлена рn ( х ) лежит один нуль многочлена pn+1 ( х ). Многочлен рn ( х ) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига
где An - постоянное, а b( х ) см. формулу (*). Каждая система О. м. обладает свойствами замкнутости. Три последовательных О. м. , ,связаны рекуррентным соотношением:
,
где ап+2 и ln+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если
,
то
;
Общая теория О. м. построена П. Л. Чебышевым . Основным аппаратом изучения О. м. явилось для него разложение интеграла в непрерывную дробь с элементами вида х - an и числителями l n-1 . Знаменатели j n ( х )/ рn ( х ) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему О. м. на отрезке [ a , b ] относительно веса r( х ).
Приведённые выше классические системы О. м. выражаются через гипергеометрическую функцию .
Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций .
В. И. Битюцков.