Значение ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО

пространство , математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного логического вывода из работ нем. математика Гильберта в результате обобщения фактов и методов, относящихся к разложениям функций в ортогональные ряды и к исследованию интегральных уравнений. Постепенно развиваясь, понятие 'Г. п.' находило все более широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики; оно принадлежит к числу важнейших понятии математики.

Первоначально Г. п. понималось как пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов (т. н. пространство l 2). Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности

x (x1, x2,..., xn,...)

такие, что ряд x21 + x22 +... + х2n + ...сходится. Сумму двух векторов х + y и вектор lx , где l - действительное число, определяют естественным образом:

x + y (x1 + y1,..., xn + yn,...),

lx (lx1, lx2, ..., lxn,...)/

Для любых векторов х, y Î l2 формула

(x, y) x1y1 + x2y2 + ... +xnyn + ...

определяет их скалярное произведение, а под длиной (нормой) вектора х понимается неотрицательное число

Скалярное произведение всегда конечно и удовлетворяет неравенству |(х, у)| £ ||x|| ||y|| . Последовательность векторов хn называется сходящейся к вектору х , если ||хn-х|| - 0 при n - ¥ . Многие определения и факты теории конечномерных евклидовых пространств переносятся и на Г. п. Например, формула

где 0 £ j £ p определяет угол j между векторами х и у . Два вектора х и у называются ортогональными, если ( х, у ) 0 . Пространство l2 полно: всякая фундаментальная последовательность Коши элементов этого пространства (т. е. последовательность хn , удовлетворяющая условию ||хп-хm||- 0 при n, m - ¥ ) имеет предел. В отличие от евклидовых пространств, Г. п. l2 бесконечномерно, т. е. в нём существуют бесконечные системы линейно независимых векторов; например, такую систему образуют единичные векторы

e1 (1, 0, 0,...), e2 (0, 1, 0,...),...

При этом для любого вектора x из l2 имеет место разложение

x x1e1 + x2 e 2 +...(1)

по системе { e n }.

Другим важным примером Г. п. служит пространство l2 всех измеримых функций, заданных на некотором отрезке [ a, b ], для которых конечен интеграл

понимаемый как интеграл в смысле Лебега. При этом функции, отличающиеся друг от друга лишь на множество меры нуль, считаются тождественными. Сложение функций и умножение их на число определяется обычным способом, а под скалярным произведением понимается интеграл

Норма в этом случае равна

Роль единичных векторов предыдущего примера здесь могут играть любые функции ji(x) из L2 , обладающие свойствами ортогональности

и нормированности

а также следующим свойством замкнутости: если f(x) принадлежит L2 и

то f(x) 0 всюду, кроме множества меры нуль. На отрезке [0,2 p ] в качестве такой системы функций можно взять тригонометрическую систему

Разложению (1) соответствует разложение функции f(x) из L2 в ряд Фурье

сходящийся к f(x) по норме пространства L2 . При этом для всякой функции f(x) выполняется равенство Парсеваля

Соответствие между функциями f(x) из L2 и последовательностями их коэффициентов Фурье a0, a1, b1, a2, b2 ,... является взаимно однозначным отображением L2 на l2 , сохраняющим операции сложения, умножения на числа, а также сохраняющим длины и скалярные произведения. Т. о., эти пространства изоморфны и изометричны, значит имеют одинаковое строение.

В более широком смысле под Г. п. понимают произвольное линейное пространство , в котором задано скалярное произведение и которое является полным относительно нормы, порождаемой этим скалярным произведением. В зависимости от того, определено ли для элементов Г. п. Н умножение только на действительные числа или же элементы из Н можно умножать на произвольные комплексные числа, различают действительное и комплексное Г. п. В последнем случае под скалярным произведением понимают комплексную функцию ( х, у ), определённую для любой пары х, у элементов из Н и обладающую следующими свойствами:

1) ( х, х ) 0 в том и только том случае, если х 0,

2) ( х, х ) ³ 0 для любого x из Н ,

3) ( х + у, z ) ( x, z ) + ( у, z ),

4) (lx, у ) l(x, у) для любого комплексного числа l ,

5)

где черта означает комплексно сопряжённую величину. Норма элемента х определяется равенством

Комплексные Г. п. играют в математике и в её приложениях значительно большую роль, чем действительные Г. п. Одним из важнейших направлений теории Г. п. является изучение линейных операторов в Г. п. (см. Операторов теория ). Именно с этим кругом вопросов связаны многочисленные применения Г. п. в теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории вероятностей, квантовой механике и т. д.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, т. 1 - Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Дэй М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961.

Ю. В. Прохоров.

Большая советская энциклопедия, БСЭ. 2012