Значение ЛЕЖАНДРА МНОГОЧЛЕНЫ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ЛЕЖАНДРА МНОГОЧЛЕНЫ

многочлены , сферические многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Впервые рассматривалась А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782-85) независимо друг от друга. Для n 0,1,2,... Л. м. Р ( х ) могут быть определены формулой:

,

в частности:

, , ,

,

,

и т.д. Все нули многочлена Pn ( x ) - действительные и лежат в основном промежутке [-1, +1], перемежаясь с нулями многочлена Pn+i ( x ). Л. м. - ортогональные многочлены с весом 1 на отрезке [-1, +1,]; они образуют полную систему, чем обусловливается возможность разложения в ряд по Л. м. произвольной функции f ( x ), интегрируемой на отрезке [-1, +1]:

,

где .

Характер сходимости рядов по Л. м. примерно тот же, что и рядов Фурье.

Явное выражение для Л. м.:

.

Производящая функция:

(Л. м. - коэффициенты при n -й степени в разложении этой функции по степеням t ). Рекуррентная формула:

nPn ( x ) + ( n - 1) Pn-2 ( x ) - (2 n - 1) xPn-1 ( x )0 .

Дифференциальное уравнение для Л. м.

возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. См. также Сферические функции .

Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М. - Л., 1963.

В. Н. Битюцков.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.