многочлены , сферические многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Впервые рассматривалась А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782-85) независимо друг от друга. Для n 0,1,2,... Л. м. Р ( х ) могут быть определены формулой:
,
в частности:
, , ,
,
,
и т.д. Все нули многочлена Pn ( x ) - действительные и лежат в основном промежутке [-1, +1], перемежаясь с нулями многочлена Pn+i ( x ). Л. м. - ортогональные многочлены с весом 1 на отрезке [-1, +1,]; они образуют полную систему, чем обусловливается возможность разложения в ряд по Л. м. произвольной функции f ( x ), интегрируемой на отрезке [-1, +1]:
,
где .
Характер сходимости рядов по Л. м. примерно тот же, что и рядов Фурье.
Явное выражение для Л. м.:
.
Производящая функция:
(Л. м. - коэффициенты при n -й степени в разложении этой функции по степеням t ). Рекуррентная формула:
nPn ( x ) + ( n - 1) Pn-2 ( x ) - (2 n - 1) xPn-1 ( x )0 .
Дифференциальное уравнение для Л. м.
возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. См. также Сферические функции .
Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М. - Л., 1963.
В. Н. Битюцков.