Значение ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

преобразование переменных x1, x2, ..., xn - замена этих переменных на новые x'1 , x-2, ..., x'n , через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:

x1 a11x-1 + a12x-2 + ... + annx-n + b1,

x2 a21x-1 + a22x-2 + ... + a2nx-n + b2,

...

xn an1x-1 + an2x-2 + ... + annx-n + bn,

здесь aij и bi ( i, j 1,2, ..., n ) - произвольные числовые коэффициенты. Если b1, b2,..., bn все равны нулю, то Л. п. переменных называют однородным.

Простейшим примером Л. п. переменных могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости

х x' cos a - y' sin a + a,

у x' sin a + y' cos a + b.

Если определитель D - aij -, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные x'1, x'2, ..., x'n линейно выразить через старые. Например, для формул преобразования прямоугольных координат

и

x- x cos a + ysin a + a1

y- -x sin a + cos a + b1

где a1 - a cos a - b sin a , b2 a sin a - b cos ( . Другими примерами Л. п. переменных могут служить преобразования аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании квадратичных форм и т. п.

Л. п. векторов (или Л. п. векторного пространства ) называют закон, по которому вектору х из n -мерного пространства ставят в соответствие новый вектор x ', координаты которого линейно и однородно выражаются через координаты вектора х :

x-1 a11x1 + a12x2 + ... +a1nxn

x-2 a21x1 + a22x2 + ... +a2nxn

...

x-n an1x1 + an2x2 + ... +annxn,

или коротко

x' Ax.

Например , операция проектирования на одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет Л. п. трёхмерного векторного пространства: каждому вектору а с координатами х, у, z сопоставляется новый вектор b , координаты x', y'., z' которого выражаются через х, у, z следующим образом : x' х, y' у , z' 0. Пример Л. п. плоскости - поворот её на угол a вокруг начала координат. Матрицу

,

составленную из коэффициентов Л. п. А , называют его матрицей. Матрицами приведённых выше Л. п. проектирования и поворота будут соответственно

и .

Л. п. векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие х - у Ax называют Л. п., если выполняются условия А ( х + у ) Ax + Ау и A (a x )a А ( х ) для любых векторов х и у и любого числа a. В разных системах координат одному и тому же Л. п. будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.

К Л. п. относится, в частности, нулевое Л. п. О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор) : Ox 0 и единичное Л. п. Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex х ; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.

Для Л. п. векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух Л. п. А и В называют Л. п. С, переводящее любой вектор х в вектор Cx Ax + Вх; произведением Л. п. А и В называют результат их последовательного применения: С AB , если Cx А ( В х ) .

В силу этих определений совокупность всех Л. п. векторного пространства образует кольцо . Матрица суммы (произведения) Л. п. равна сумме (произведению) матриц Л. п. слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности . Л. п. можно также умножать на числа: если Л. п. А переводит вектор х в вектор у Ax, то a А переводит х в a у . Примеры операций над Л. п.: 1) Пусть А и В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, а AB 0 . 2) А и В - повороты плоскости вокруг начала координат на углы j и ; AB будет поворотом на угол j + . 3) Произведение единичного Л. п. Е на число a будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) a.

Л. п. В называют обратным к Л. п. А (и обозначают А -1), если BA Е (или AB Е ). Если Л. п. А переводило вектор х в вектор у, то Л. п. А- 1 переводит у обратно в х. Л. п., обладающее обратным, называют невырожденным; такие Л. п. характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы Л. п. заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные - в комплексных пространствах) Л. п. Ортогональные Л. п. не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Л. п. в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными): произведение ортогональной матрицы на её транспонированную даёт единичную матрицу: åkaikajk åkakiakj 0 при i ¹ j, åka2ik åka2ki 1 (в комплексном пространстве åkaikjk åkakikj 0, åk|ajk|2 åk|aki|2 1). Симметрическим (эрмитовым, или самосопряжённым, - в комплексном пространстве) Л. п. называют такое Л. п., матрица которого симметрическая: aij aji (или (aij ij). Симметрические Л. п. осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Л. п. связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве).

Приведённое выше определение Л. п. в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Л. п. в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами .

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Ефимов Н. В., Розендорн Э. P., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970.

Большая советская энциклопедия, БСЭ. 2012