Значение слова КВАТЕРНИОН в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона

КВАТЕРНИОН

Исчисление К., основанное Вильямом-Ровэном Гамильтоном (см.), представляет собою теорию векторов (см.), основанную на выражении вектора тричленом вида xi + yj + zk, в котором x, y, z суть величины проекций вектора на ортогональные оси координат, а i, j, k — символы, обозначающие мнимые величины особого рода, обладающие следующими свойствами:A) Квадраты их равны минус единице, т. е. i²= -1, j²= -1, k²= -1.B) Произведение двух из них равно третьей, взятой со знаком + или -, в зависимости от порядка множителей, а именно:ij = k, ji = -kjk = i, kj = -iki = j, ik = -j.Алгебраические действия сложения и вычитания над такими выражениями векторов дают выражения геометрической суммы и геометрической разности (см.) векторов, а через умножение вектора ? = xi + yj + zk на другой вектор ?₁ = х₁i + y₁j + z₁k получается на основании свойств А и B следующее выражение:s + fi + gj + hk..... (С)в котором:s = -(хх₁ + yy₁ + zz₁)f = yz₁ — zy₁g = zx₁ — xz₁h = xy₁ - yx₁Означим через r и r, длины обоих векторов, через ? угол между их направлениями; представим себе, что оба вектора проведены из начала координат и что из него восстановлен перпендикуляр в такую сторону, чтобы наблюдателю, стоящему в начале координат, головою по направлению перпендикуляра, вращение направления r на угол ? до совмещения с направлением r₁ казалось бы совершающимся справа налево. Означим через l, m, n косинусы углов, составляемых направлением вышесказанного перпендикуляра с осями координат.Известно, что хх₁ + yy₁ + zz₁ = rr₁cos? и чтоf = -lrr₁sin?g = -mrr₁sin?h = -nrr₁sin?поэтому??₁ = -rr₁cos? — ?rr₁sin?, где? = li+ mj + nk.Следовательно, произведение ??₁ есть четырехчленное выражение, первый член которого есть отрицательно взятое геометрическое произведение (rr₁cos?) обоих векторов, а сумма остальных трех членов есть выражение вектора, изображающего линейный момент вокруг начала координат вектора r₁, отложенного от конца вектора r. Четырехчленное выражение вида (С) назвал Гамильтон К.; первый, невекториальный член s кватерниона наз. scalar, сумма остальных трех членов наз. вектором. В учении о К. рассматриваются различные действия над К. и делается применение теории их к геометрии, механике и математической физике. Ср. W. R. Hamilton, "Elemente der Quaternionen" (нем. излож. Paul Glan, Лпц., 1882); Tait, "An Elementary Treatise on Quaternions"; P. Kelland and P. G. Tait, "Introduction to Quaternions".Д. Б.

Брокгауз и Ефрон. Брокгауз и Евфрон, энциклопедический словарь. 2012