на множители многочлена, представление его в виде произведения двух или большего числа многочленов низших степеней, например: х 2 - 1( х - 1)( х + 1), х 2 - ( a + b ) x + ab ( x - a )( x - b ), x 4 - a 4 ( x - a )( x + a )( x 2+ a 2). Простейшие приёмы Р. на м.: вынесение общего множителя за скобку: х 4 + a 2 x 2 x 2( x 2 + a 2), х ( х - а ) - b ( x - a ) ( x - a )( x - b ); применение готовых (запоминаемых наизусть) формул: x 2 - a 2 ( х - a )( x + a ), x 3 - a 3 ( х - а )( х 2 + ах + а 2), x 2+2 ax + a 2 ( х + а )2, x 3 +3 ax 2 +3 a 2 x + a 3( х + а )3, способ группировки, например х 3+ ax 2+ a 2 x + a 3( х 3 + ax 2) + ( a 2 x + a 3) x 2( x + a ) + a 2( x + a ) ( х + а )( а 2 + х 2); x 4 + a 4( х 4 +2 а2х 2+ а 4) - 2 a 2 x 2 ( x 2 + a 2)2 - ( ах )2( х 2 - ax + a 2)( x 2 + ax + a 2), и т.п. Если многочлен степени n р ( х ) a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n xn ( a n ¹ 0) имеет корни x 1, x 2,..., x n, то справедливо Р. на м.: р ( х ) a n ( х - х 1)...( х - xn );здесь все множители 1-й степени (линейные). Например, из того, что многочлен 3-й степени х 3 - 6 х 2+ 11 x - 6 имеет корни x 1 1, x 2 2, x 33, вытекает Р. на м.: х 3 - 6 х 2+ 11 x - 6 ( x - 1)( x - 2)( х - 3). Вообще, каждый многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители 1-й или 2-й степени также с действительными коэффициентами. Так, выше было указано разложение: x 4 + a 4 ( x 2 - ax + a 2)( x 2 + ax + a 2). Здесь все множители 2-й степени; при а действительном и неравном нулю они могут быть разложены только на множители с комплексными коэффициентами, например
x 2 + ax + a 2 .
Среди многочленов от двух или большего числа переменных существуют многочлены сколь угодно высокой степени, которые вообще не разлагаются на множители (неприводимые многочлены); таков, например, многочлен xn + y при любом натуральном n. См. Многочлен , Неприводимый многочлен .
Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.
А. И. Маркушевич.