функции, функции нескольких переменных, не изменяющиеся при любых перестановках переменных, например или . Особое значение в алгебре имеют симметрические многочлены (с. м.) и среди них - элементарные симметрические многочлены (э. с. м.) - функции
, , , -, ,
где суммы распространены на комбинации неравных между собой чисел k , l ,...; они имеют первую степень относительно каждого из переменных. Согласно формулам Виета, x1 , x2 ,..., xn являются корнями уравнения:
xn - f1xn-1 + f2xn-2 - TTT + (- 1 ) nfn 0 .
Согласно основной теореме теории С. ф., любой с. м. представляется как многочлен от э. с. м., и притом только единственным образом: F ( x1 , x2. , ... , xn ) G ( f1 , f2 ,..., fn ); если все коэффициенты в F целые, то и коэффициенты в G целые. Иными словами, всякий с. м. от корней уравнения выражается целым рациональным образом через его коэффициенты; например,
.
Другим важным классом С. ф. являются степенные суммы
.
Они связаны с э. с. м. формулами Ньютона
si - f1sl-1 + f2sl-2 + TTT + (- 1) l fl 0, ,
и
sn+l - f1sn+l-1 + TTT +(-1) n fnsl 0,
,
позволяющими последовательно выражать fk через srn и обратно.
Функция называется кососимметрической, или знакопеременной, если она не изменяется при чётных перестановках x1 , x2 , ... , xn и меняет знак при нечётных перестановках. Такие функции рационально выражаются через f1 , f2 , ... , fn и разностное произведение (см. Дискриминант ) D Пк < 1 ( xk - xl ), квадрат которого является С. ф. и потому рационально выражается через f1 , f2 ,..., fn.
Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.