- Лиувилля задача, задача о нахождении отличных от нуля решений дифференциального уравнения
-[ p ( x ) y' ] ' + q ( x ) y l y , (1)
удовлетворяющих граничным условиям вида
A1y ( a ) + B1y' ( a ) 0, А2у ( b ) + B2y' ( b ) 0
(т. н. собственных функций ), а также о нахождении значений параметра l (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты р ( х ), q ( x ) Ш.-Л. з. можно свести к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида
- y" + q ( x ) y l y. (2)
Была впервые (1837-41) исследована Ж. Лиувиллем и Ж. Ш. Ф. Штурмом .
Решение некоторых видов уравнений математической физики методом Фурье приводит к Ш.- Л. з. Например, задача о колебаниях однородной струны, закрепленной на концах, приводит к Ш.- Л. з. для уравнения - у" l у с граничными условиями y (0) y (p) 0 . В этом случае существует бесконечная последовательность значений 12, 22,..., n 2, ... , которым соответствуют собственные функции sin nx , образующие на отрезке [0, p] полную ортогональную систему функций (см. Ортогональная система функций ) . Аналогично обстоит дело и в общем случае, возникающем, например, при изучении распространения тепла в неоднородном стержне и т.д. И здесь, если функция q ( x )в уравнении (2) непрерывна и действительна на отрезке [ a , b ],a A 1, B 1, A 2, B 2 - действительные числа, существует возрастающая последовательность действительных собственных значений l1, ... ,l п , ... , стремящаяся к бесконечности, причём каждому из l п соответствует определённая с точностью до постоянного множителя собственная функция j п ( х ),имеющая n нулей на участке а < х < b. Функции j п ( х ) образуют на [ а , b ] полную ортогональную систему функций [для уравнения (1) имеет место ортогональность с весом р ( х )] . Полнота такой системы функций была доказана В. А. Стекловым в 1896. Весьма общие теоремы о разложении функций в ряды Фурье по системе j п ( х ) доказал Д. Гильберт (1904) с помощью теории линейных интегральных уравнений. При возрастании п собственные значения и собственные функции Ш.- Л. з. для уравнения (2) стремятся к собственным значениям и собственным функциям для уравнения - у" l у при тех же граничных условиях. Большинство встречающихся в математике ортогональных систем функций, например, многочлены Лежандра, многочлены Эрмита, являются системами собственных функций некоторых Ш.- Л. з.
Иногда Ш.- Л. з. называют краевую задачу для уравнения (1) при более общих краевых условиях:
a iy ( а ) + b iy' ( а ) + g iy ( b ) + d iy' ( b ) 0, i 1, 2,
где a i , b i ,g i , d i - постоянные числа. Среди краевых условий такого вида наиболее важными являются у ( а ) у ( b ), y' ( a ) y' ( b ) (периодические условия) и у ( а ) -у ( b ), у' ( а ) -y' ( b ) (полупериодические условия).
Многие задачи математической физики (например, задача о распространении тепла в бесконечном неоднородном стержне) приводит к Ш.- Л. з. на полуоси или на всей оси. В 1-м случае рассматриваются решения уравнения (2), удовлетворяющие условию A 1 y (0)+ B 1 y' (0) 0; вместо последовательности собственных функций здесь появляется совокупность собственных функций j( х , l), зависящих от непрерывно изменяющегося параметра l. Вместо разложения в ряды Фурье рассматриваются разложения вида
,
где r(l) - некоторая неубывающая функция. Эти разложения аналогичны Фурье интегралу . При этом
и
.
Аналогичные факты имеют место и для Ш.- Л. з. на всей оси. Для некоторых задач математической физики важное значение имеет обратная Ш.-Л. з., т. е. задача о восстановлении дифференциального уравнения по функции r(l). Эта задача была поставлена в частном случае В. А. Амбарцумяном , а в более общем случае швед. математиком Г. Бортом и решена М. Г. Крейном, И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном.
Ш.- Л. з. возникает также в некоторых вопросах квантовой механики и вариационного исчисления.
Лит.: Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., 3 изд., т. 1, М.- Л., 1951; Сансоне Дж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 1, М., 1953; Левитан Б. М., Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка, М.- Л., 1950.