функция, функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению . А. ф. принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочленов [например,
называются рациональными, а прочие А. ф. - иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить А. ф., выражаемые с помощью радикалов [например,
Однако существуют А. ф., которые невозможно выразить через радикалы [например, функция у f ( х ), удовлетворяющая уравнению: y 5 + 3 ух 4 + x 5 0]. Примерами неалгебраических, т. н. трансцендентных функций , встречающихся в школьном курсе алгебры, являются: степенная x a (если a - иррациональное число), показательная а х , логарифмическая и т. д. Общая теория А. ф. представляет обширную математическую дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитических функций (А. ф. составляют специальный класс аналитических функций), алгеброй и алгебраической геометрией . Самая общая А. ф. многих переменных u f ( x , у , z , ...) определяется как функция, удовлетворяющая уравнению вида:
Р о( х , у , z , ...) u n + P 1( x , y , z , ...) u n-1 + - + P n( x , y , z , ...) 0,(1)
где Р 0, Р 1, ..., P n - какие-либо многочлены относительно х , у , z ,... . Всё выражение, стоящее в левой части, представляет некоторый многочлен относительно х , у , z ,... и n . Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен P 0 можно считать не равным тождественно нулю. Если n 1, то u представляет рациональную функцию ( u - P 1/ P 0), частным случаем которой - целой рациональной функцией - является многочлен (если P 0 const ¹ 0). При n > 1 получается иррациональная функция; если n 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если n 3 или n 4, то для u получается выражение, содержащее квадратные и кубические корни.
При n ³ 5 число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная А. ф. всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n -значной аналитической функцией переменных х , у , z ,...
Лит.: Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. - Л., 1948.