функции, цилиндрические функции 1-го рода; возникают при рассмотрении физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний и пр.) в областях с круговой и цилиндрической симметрией; являются решениями Бесселя уравнения .
Б. ф. Jp порядка (индекса) р, - ¥ < p < ¥, представляется рядом
сходящимся при всех х. Её график при х > 0имеет вид затухающего колебания; J p ( x )имеет бесчисленное множество нулей; поведение J p ( x ) при малых | х | даётся первым слагаемым ряда (*), при больших х > 0 справедливо асимптотическое представление
в котором отчётливо проявляется колебательный характер функции. Б. ф. 'полуцелого' порядка р n + 1/2 выражаются через элементарные функции; в частности,
Б. ф. J p (mpn x/l ) (где mpn - положительные нули J p ( x ) , р > -1/2) образуют ортогональную с весом х в промежутке (0, l ) систему (см. Ортогональная система функций ) .
Функция J 0 была впервые рассмотрена Д. Бернулли в работе, посвященной колебанию тяжёлых цепей (1732). Л. Эйлер , рассматривая задачу о колебаниях круглой мембраны (1738), пришёл к уравнению Бесселя с целыми значениями р n и нашёл выражение JL ( x ) в виде ряда по степеням х. В последующих работах он распространил это выражение на случай произвольных значений р. Ф. Бессель исследовал (1824) функции Jp ( x ) в связи с изучением движения планет вокруг Солнца. Он составил первые таблицы для J 0( x ) , J 1( x ) , J 2( x ) .
Лит.: Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1-2, М., 1949; Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.- Л., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1966.
П. И. Лизоркин.