Значение ЛИНИЯ (ГЕОМЕТРИЧ. ПОНЯТИЕ) в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ЛИНИЯ (ГЕОМЕТРИЧ. ПОНЯТИЕ)

(от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно.

1) В элементарной геометрии рассматриваются прямые Л., отрезки прямых, ломаные Л., составленные из отрезков, и некоторые кривые Л. Каждый вид кривых Л. определяется тем или иным специальным способом (например, окружность определяется как геометрическое место точек, имеющих заданное расстояние R от заданной точки О - центра окружности). Иногда в учебниках дают определение Л. как границы куска поверхности (поверхность определяется при этом как граница тела) или как траектории движущейся точки. Но в рамках элементарной геометрии эти определения не получают отчётливой формулировки.

2) Представление о Л. как траектории движущейся точки может быть сделано вполне строгим при помощи идеи параметрического представления Л. Например, вводя на плоскости прямоугольные координаты ( x, у ), можно параметрически задать окружность радиуса R с центром в начале координат уравнениями

x R cos t, y R sin t.

Когда параметр t пробегает отрезок 0 £ t £ 2p, точка ( х, у ) описывает окружность. Вообще, Л. на плоскости задают параметрическими уравнениями вида

x j ( t ) , у ( t ) ,

где j ( t ) , ( t ) - произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь конечном или бесконечном интервале D числовой оси t . С каждым значением параметра t (из интервала D) уравнения (*) сопоставляют некоторую точку M, координаты которой определяются этими уравнениями. Л., заданная параметрическими уравнениями (*) есть множество точек, соответствующих всевозможным значениям t из D, при условии, что эти точки рассматриваются в определенном порядке, именно: если точка M1 соответствует значению параметра t1 , а точка M2 - значению t 2, то M 1 считается предшествующей M2 , если t1 < t2 При этом точки, отвечающие различным значениям параметра, всегда считаются различными.

Аналогично, в трёхмерном пространстве Л. задаётся параметрически тремя уравнениями вида

x j ( t ) , у ( t ) , z c ( t ) ,

где j ( t ) , ( t ) , c ( t ) - произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь интервале. В произвольном топологическом пространстве Т (которое, в частности, может быть плоскостью, поверхностью, обычным трёхмерным пространством, функциональным пространством и т. п.) Л. параметрически задают уравнением вида

P j ( t ) ,

где j- функция действительного переменного t , непрерывная на каком-либо интервале, значения которой суть точки пространства Т. Считают, что два параметрических представления задают одну и ту же Л., если они определяют один и тот же порядок следования её точек (в смысле, указанном выше).

В анализе и топологии рассматривают обычно случай, когда область изменения параметра t есть отрезок а £ t £ b . В этом случае условие того, чтобы два параметрических представления

Р j ( t ) , a £ t £ b

P j 1 ( t1 ) , a1 £ t1 £ b1,

изображали одну и ту же Л., заключается в существовании непрерывной и строго возрастающей функции

t1 f ( t ) ,

для которой

f ( a ) a1, f ( b ) b1, j ( t )j 1[f ( t ) ].

Такое понимание термина 'Л.' наиболее естественно в большинстве вопросов анализа (например, в теории криволинейных интегралов) и механики. Так как Л. здесь рассматривается вместе с порядком, в котором пробегает её точки переменная точка М при возрастании t , то при этом естественно возникает вопрос о числе прохождений переменной точки Л. через какую-либо точку пространства. Кроме простых точек, проходимых один раз, Л. может иметь кратные точки, которые проходятся несколько раз (отвечающие различным значениям параметра).

Например, при изменении t в пределах - ¥ < t < ¥ точка с координатами

,

описывает строфоиду (см. рис. 'Алгебраические кривые третьего порядка', | 5 ), попадая в положение х 0, у 0 два раза при t - 1 и t + 1 .

3) Из аналитической геометрии известен и другой способ задания Л. на плоскости уравнением

F ( x, y ) 0;

в пространстве - двумя уравнениями

F ( x, у, z ) 0, G ( x, y, z ) 0 .

Ограничиваясь случаем плоскости, укажем лишь, как строится понятие алгебраической Л. (кривой) - Л., определяемой уравнением

F ( x, y )0,

где F ( x, у ) - целая алгебраическая функция , т. е. многочлен како-либо степени n ³ 1 . В этом случае считают, что два многочлена F1 ( x, у ) и F2 ( x, у ) определяют одну и ту же алгебраическую Л. в том и только в том случае, когда существует такая постоянная с ¹ 0, что выполняется тождественно соотношение

F1 ( x, y ) cF2 ( x, у ) .

Таким образом, все многочлены, определяющие одну и ту же Л., имеют одну и ту же степень n , называемую порядком соответствующей Л. Например, в аналитической геометрии принято считать, что уравнение

( х - у ) 2 0

определяет Л. второго порядка, а именно, дважды взятую прямую х - у 0 .

В связи с последним примером необходимо заметить, однако, что часто целесообразно ограничиваться рассмотрением неприводимых алгебраических Л., т. е. таких Л., для которых многочлен не допускает представления F GH, где G и Н - отличные от постоянных многочлены. Далее, в пункте 4, имеется в виду только этот случай.

Говорят, что точка ( x0, y0 ) кривой F ( x, у ) 0 имеет кратность m, если разложение F ( x, у ) по степеням x х - x0 , h у - y0 начинается с членов степени m (по совокупности переменных x и h). В случае m 2, т. е. в случае двойной точки

F ( x, у ) а11 ( х - x0 ) 2 + 2а12 ( х - x0 )( у - y0 ) + a22 ( y - y0 ) 2 + ...,

где многоточие означает, что далее следуют члены высших порядков. При помощи дискриминанта

d a11a22 - а122

можно определить тип двойной точки (см. Особые точки ) .

4) Часто, особенно при изучении алгебраической Л., целесообразно стать на точку зрения комплексной проективной геометрии, т. е. рассматривать, наряду с точками евклидовой действительной плоскости (или пространства), точки бесконечно удалённые и мнимые. Только при таком подходе (и надлежащем учёте кратности пересечения) становится верным, например, утверждение, что две Л. порядков n и m пересекаются в mn точках. В случае m 1 это приводит к возможности определить порядок Л. как число n точек её пересечения с прямой.

С проективной точки зрения естественно задавать Л. на плоскости однородным уравнением

F ( x1, x2, x3 )0

между однородными координатами x1, x2, x3 её точек. В силу принципа двойственности с этим заданием равноправно задание Л. уравнением

F(x1, x2, x3) 0,

связывающим однородные координаты прямых, касающихся Л. Таким образом, наряду с порядком Л. (степенью уравнения F 0) естественно возникает понятие класса Л. - степени уравнения F 0 . Класс алгебраических Л. можно также определить как число касательных, которые можно провести к Л. из произвольной точки. О параметрическом представлении Л. см. также Уникурсальные кривые .

5) Рассмотренные выше (в пунктах 2-4) уточнения и обобщения понятия Л. существенно связаны с соответствующим алгебраическим и аналитическим аппаратом. В отличие от этого, современная топология выдвинула задачу уточнения представления о Л. как о множестве точек, независимо от алгебраического или аналитического способов задания этого множества.

Если исходить из параметрического задания Л. в виде непрерывной функции P j ( t ), где t пробегает отрезок а £ t £ b , но интересоваться только полученным множеством точек без учёта порядка их следования, то приходят к понятию Л., сформулированному в 80-x гг. 19 в. К. Жорданом (см. Жордана кривая ) . Оказывается, что таким непрерывным образом отрезка может быть любой локально связный континуум, в частности квадрат, треугольник, куб и т. п. (см. Пеано кривая ) . Поэтому теперь обычно предпочитают говорить не о Л. в смысле Жордана, а о локально связных, или жордановых, континуумах. Взаимно однозначный непрерывный образ отрезка называют простой дугой, или жордановой дугой. Взаимно однозначный непрерывный образ окружности называют простой замкнутой Л. Простые дуги и простые замкнутые Л. не исчерпывают, однако, точечных множеств, заслуживающих наименования Л.

Избегая и чрезмерной общности, и чрезмерного сужения понятия Л., в современной топологии пользуются понятием Л., введённым в 1921 П. С. Урысоном , который определяет Л. (кривую) как произвольный континуум размерности единица. Континуум имеет размерность единица, если при любом e > 0 он может быть представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра, меньшего e, обладающих тем свойством, что никакие три из этих замкнутых множеств не имеют общей точки (см. также Размерность в геометрии). Континуум, лежащий на плоскости, будет Л. в смысле Урысона тогда и только тогда, когда он не содержит внутренних точек. Этим свойством характеризовал ранее (70-е гг. 19 в.) Л., лежащие на плоскости, Г. Кантор . Хотя определение Кантора применимо только к Л., лежащим на плоскости, иногда и общие Л. в смысле Урысона называют 'канторовыми кривыми'.

Л. Н. Колмогоров.

6) Ещё математики древности изучали линии второго порядка ( эллипс , гиперболу и параболу ) . Ими же был рассмотрен ряд отдельных замечательных алгебраических Л. более высокого порядка, а также некоторые трансцендентные (неалгебраические) Л. Систематическое изучение Л. и их классификация стали возможными с созданием аналитической геометрии (Р. Декарт ) .

Из Л. третьего порядка наиболее известны:

Декартов лист (см. рис. 'Алгебраические кривые третьего порядка', | 1 ). уравнение в прямоугольных координатах: x3 + y3 - 3аху 0 . Впервые кривая определяется в письме Р. Декарта к П. Ферма в 1638. Полная форма кривой с наличием асимптоты, проходящей через точки ( - а , 0) и (0, - а ), была определена позднее (1692) Х. Гюйгенсом и И. Бернулли . Название 'декартов лист' установилось в начале 18 в.

Локон Аньези (см. рис. 'Алгебраические кривые третьего порядка', | 2 ). Пусть имеется круг с диаметром OC - а и отрезок BDM, построенный так, что ОВ : BD OC : ВМ; геометрическое место точек М представляет собой локон Аньези (или верзиеру). уравнение в прямоугольных координатах: у a3/ ( a2 + x2 ). Исследование этой Л. связано с именем итальянской женщины-математика Марии Аньези (1748).

Кубическая парабола (см. рис. 'Алгебраические кривые третьего порядка', | 3 ). уравнение в прямоугольных координатах: у x3 .

Полукубическая парабола (см. рис. 'Алгебраические кривые третьего порядка', | 4 ), парабола Нейля. уравнение в прямоугольных координатах: у -сх3/2 . Названа по имени английского математика У. Нейля (1657), нашедшего длину её дуги.

Строфоида (от греч. strophos - кручёная лента и eidos - вид) (см. рис. 'Алгебраические кривые третьего порядка', | 5 ). Пусть имеется неподвижная прямая АВ и точка С вне её на расстоянии CO а ; вокруг С вращается прямая, пересекающая АВ в переменной точке N. Если от точки N отложить по обе стороны прямой АВ отрезки NM NM' NO, то геометрическое место точек М и М' для всех положений вращающегося луча CN и есть строфоида. Уравнение в прямоугольных координатах: ; в полярных координатах: r -a cos 2j/cosj. Впервые строфоиду исследовал Э. Торричелли (1645), название было введено в середине 19 в.

Циссоида Диоклеса (см. рис. 'Алгебраические кривые третьего порядка', | 6 ) (греч. kissoeides, от kissos - плющ и eidos - вид), геометрическое место точек М, для которых OM PQ (Р - произвольная точка производящего круга с диаметром а ). Уравнение в прямоугольных координатах: y2 х3/ ( а - х ); в полярных координатах: r a sin2 j/cos j. Древние греки рассматривали только ту часть циссоиды, которая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща (откуда название); наличие бесконечных ветвей было установлено в 17 в. французским математиком Ж. П. Робервалем и независимо от него бельгийским математиком Р. Ф. Слюзом.

Из Л. четвёртого и более высоких порядков наиболее известны:

Кардиоида (от греч. kardia - сердце и eidos - вид) (см. рис. 'Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков', | 1 ), кривая, описываемая какой-либо точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. уравнение в прямоугольных координатах: ( x2 + y2 - 2ах ) 2 4a ( x2 + y2 ); в полярных координатах: r 2а (1 + cos j).

Конхоида Никомеда (от греч. konchoeides - похожий на раковину) (см. рис. 'Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков', | 2 ), кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении каждого радиус-вектора точек данной прямой на одну и ту же величину d , т. о., OM OP - d или OM' OP + d . Если расстояние от полюса О до данной прямой равно а, то уравнение в прямоугольных координатах: ( х - а ) 2 ( х2 + y2 ) - d2x2 0, в полярных координатах: r a/ cosj | d . Впервые рассматривалась древнегреческим геометром Никомедом (около 250-150 до нашей эры), который использовал её для решения задач о трисекции угла и удвоении куба .

Лемниската Бернулли (см. рис. 'Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков', | 3 ) (от лат. lemniscatus, буквально - украшенный лентами), кривая, имеющая форму восьмёрки; геометрическое место точек, произведение расстояний которых от фокусов F1 ( - а , 0) и F2 ( а , 0) равно а2 . уравнение в прямоугольных координатах:( x2 + y2 ) 2 - 2a2 ( x2 - y2 ) 0, в полярных координатах: r2 2а2 cos 2j. Впервые рассматривалась Я. Бернулли (1694). Лемниската является частным случаем овалов Кассини и синус-спиралей.

Овалы Декарта (см. рис. 'Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков', | 4 ), геометрические места точек М, расстояния которых от двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, умноженные на данные числа, имеют постоянную сумму с , то есть m MF1 + + n MF2 с . уравнение в прямоугольных координатах:

( x + y- -2rx ) 2 - l2 ( x2 + y2 ) - k 0,

где r, l и k - некоторые постоянные, связанные с параметрами m, n и d ; в полярных координатах:

( n2 - m2 )( 2 + 2 (( mc - n2d cos () + n2d2 - с2 0 .

Помимо фокусов F1 и F2, имеется и третий фокус F3, равноправный с каждым из них. При m 1, n 1 овал Декарта превращается в эллипс; при m 1 и n -1 - в гиперболу. Частным случаем овала является также улитка Паскаля. Овалы впервые исследовались Р. Декартом (1637).

Овалы Кассини (см. рис. 'Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков', | 5 ), геометрические места точек М, произведение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Пусть F1 и F2 точки на оси абсцисс, F1F2 2 b , а произведение MF1×MF2 а2 . уравнение в прямоугольных координатах:

( x2 + y2 ) 2 - 2b2 ( a2 - y2 ) a4 - b4.

Если , то овал Кассини - выпуклая кривая; если b < a < , то кривая имеет вид овала с двумя утолщениями; при а b овал Кассини превращается в лемнискату, наконец, при b > а овал Кассини является двусвязной кривой. Впервые рассмотрена Дж. Кассини (17 в.).

Улитка Паскаля (см. рис. 'Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков', | 6 ), геометрическое место точек М и M', расположенных на прямых пучка (центр которого О лежит на окружности радиуса R) на расстоянии а по обе стороны от точки Р пересечения прямых с окружностью; т. о., PM PM' а . уравнение в прямоугольных координатах: ( x2 + y2 - 2Rx ) 2 - а2 ( х2 + y2 ) 0, в полярных координатах: r 2 R cos j + а . При а 2 R петля стягивается в точку, в этом случае улитка Паскаля превращается в кардиоиду. Название по имени французского учёного Э. Паскаля (1588-1651), впервые изучавшего её.

Астроида (от греч. astron - звезда и eidos - вид) (см. рис. 'Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков', | 7 ), кривая, описываемая точкой подвижной окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. уравнение в прямоугольных координатах: x2/3 + y2/3 а2/3 , где а - радиус неподвижной окружности. Астроида - линия 6-го порядка.

Розы (см. рис. 'Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков', | 8 ), кривые, полярное уравнение которых:r a sin m j; если m - рациональное число, то розы - алгебраической Л. чётного порядка. При m нечётном роза состоит из от лепестков, при m чётном - из 2 m лепестков; при m рациональном лепестки частично покрывают друг друга.

Синусоидальные спирали, синус-спирали (см. рис. 'Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков', | 9 ), кривые, полярное уравнение которых r m am cos m j; если m - рациональное число, то эти Л. - алгебраические. Частные случаи: m 1 - окружность, m - 1 - прямая, m 2 - лемниската Бернулли, m -2 - равнобочная гипербола, m 1/2 - кардиоида, m - 1/2 - парабола. При целом m > 0 Л. состоит из m лепестков, каждый из которых лежит внутри угла, равного p/ m , при рациональном m > 0 лепестки могут частично покрывать друг друга; если m < 0, то Л. состоит из от бесконечных ветвей.

Большой интересный класс составляют трансцендентные Л. К ним относятся графики тригонометрических функций (синусоида, тангенсоида), логарифмической функции , показательной функции , гиперболических функций , а также следующие Л.:

Квадратриса (см. рис. 'Трансцендентные кривые', | 1 ). Пусть прямая MN равномерно вращается против часовой стрелки вокруг точки О, а прямая А'В' равномерно движется справа налево, оставаясь параллельной OC. Далее, пусть за время движения A'B' от AB до OC прямая MN поворачивается на прямой угол и переходит из положения OA r в положение OC. Геометрическое место точек Р пересечения прямых MN и A'B' и есть квадратриса. уравнение в прямоугольных координатах: ; в полярных координатах: . Часть квадратрисы, заключённая в квадрате OABC, была известна древнегреч. математикам. Открытие квадратрисы приписывается Гиппию Элидскому (5 в. до н. э.), использовавшему её для решения задачи о трисекции угла. Динострат (4 в. до н. э.) с помощью квадратрнсы выполнил квадратуру круга.

Трактриса (см. рис. 'Трансцендентные кривые', | 2 ), кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания М до точки Р пересечения с данной прямой есть величина постоянная, равная а . Уравнение в прямоугольных координатах:

.

Цепная линия (см. рис. 'Трансцендентные кривые', | 3 ), кривая, форму которой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжёлая нить, концы которой закреплены в двух точках. уравнение в прямоугольных координатах: у a а ( ex/a + е-х/a ) / 2.

Циклоида (от греч. kykloeides - кругообразный) (см. рис. 'Трансцендентные кривые', | 4 ), кривая, которую описывает точка Р, расположенная на расстоянии а от центра круга радиуса r , катящегося без скольжения по прямой линии. Если Р лежит на окружности круга ( r а ), получают обыкновенную циклоиду (см. рис. 'Трансцендентные кривые', | 4а ), если она лежит внутри круга ( r > а ), - укороченную циклоиду (см. рис. 'Трансцендентные кривые', | 4б ), если точка вне круга ( r < а ), - удлинённую циклоиду (см. рис. 'Трансцендентные кривые', | 4в ). Две последние Л. называют трохоидами. Уравнение в параметрической форме:

, .

Среди трансцендентных Л. особый класс составляют спирали (от греч. speira, буквально - витое), плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс системы координат, то полярное уравнение спирали r f(j) таково, что f(j + 2p) > f(j) или f(j + 2p) < f(j) при всех j. Из спиралей наиболее известны:

Архимедова спираль (см. рис. 'Трансцендентные кривые', | 5 ), кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по прямой в то время, как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг точки О. уравнение в полярных координатах: r a j, где а - постоянная. Эта спираль изучалась Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга.

Гиперболическая спираль (см. рис. 'Трансцендентные кривые', | 6 ), кривая, описываемая точкой М, движущейся по вращающейся прямой OA, так, что её расстояние от центра вращения меняется обратно пропорционально углу поворота. Уравнение в полярных координатах: r а/j.

Жезл (см. рис. 'Трансцендентные кривые', | 7 ), кривая, уравнение которой в полярных координатах: . Каждому значению j соответствуют два значения r - положительное и отрицательное. Кривая состоит из двух ветвей, каждая из которых асимптотически приближается к полюсу.

Логарифмическая спираль (см. рис. 'Трансцендентные кривые', | 8 ), кривая, уравнение которой в полярных координатах: r аекj. Была известна многим математикам 17 в.

Спираль Корню (см. рис. 'Трансцендентные кривые', | 9 ), клотоида, кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. уравнение в параметрической форме:

, y a.

Использовалась французским физиком М. А. Корню (1874) для графич. решения некоторых задач дифракции света.

Si-ci-спираль (см. рис. 'Трансцендентные кривые', | 10 ), кривая, параметрическое уравнение которой имеет вид

,

,

si ( t ) и ci ( t ) - интегральный синус и интегральный косинус .

К циклоиде по способу построения примыкает класс циклоидальных кривых, которые могут быть как алгебраическими, так и трансцендентными. Среди них:

Гипоциклоида (см. рис. 'Циклоидальные кривые', | 1а, 1б ) , кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности внутри её. Уравнение в параметрической форме:

,

,

где А - радиус неподвижной, а а - подвижной окружности. Вид кривой зависит от отношения А/а .

Эпициклоида (см. рис. 'Циклоидальные кривые', | 2а, 2б ), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности вне её. Уравнение получится из уравнения гипоциклоиды заменой а на - а .

Удлинённая гипоциклоида (эпициклоида), кривая, описываемая точкой, лежащей вне окружности, которая катится без скольжения по другой окружности внутри (вне) её (см. рис. 'Циклоидальные кривые', | 3а, 4д ). Аналогично определяется укороченная гипоциклоида (эпициклоида) (см. рис. 'Циклоидальные кривые', | 3б, 4б ). Удлинённые и укороченные гипоциклоиды и эпициклоиды иногда называются гипо- и эпитрохоидами.

В. И. Битюцков, Ю. А. Горьков, А. Б. Иванов.

Лит.: Маркушевич А. И., Замечательные кривые, 2 изд., М. - Л., 1952; Савелов А. А., Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство), М., 1960; Пархоменко А. С., Что такое линия, М., 1954; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Уокер А., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; Loria G., Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Bd 1-2, Lpz. - B., 1910-11.

Большая советская энциклопедия, БСЭ. 2012