Значение КВАДРАТИЧНЫЙ ВЫЧЕТ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

КВАДРАТИЧНЫЙ ВЫЧЕТ

вычет, понятие теории чисел. К. в. по модулю m - число а , для которого сравнение x 2 º а (mod m ) имеет решение: при некотором целом х число x 2 -a делится на m ; если это сравнение не имеет решений, то а называют квадратичным невычетом. Например, если m 11, то число 3 будет К. в., так как сравнение x 2º 3 (mod 11) имеет решения х 5, х 6, а число 2 будет невычетом, т.к. не существует чисел х , удовлетворяющих сравнению x 2º 2 (mod 11). К. в. являются частным случаем вычетов степени n для n 2.Если m равно простому нечётному числу р , то среди чисел 1, 2,..., р -1 имеется ( р -1)/2 К. в. и ( р -1)/2 квадратичных невычетов. Для изучения К. в. по простому модулю р вводится Лежандра символ , определяемый так: если а взаимно просто с р , то полагают 1, когда а - К. в., и - 1, когда а - квадратичный невычет. Основной теоремой в этом круге вопросов является так называемый закон взаимности К. в.: если р и q - простые нечётные числа, то

.

Эту закономерность открыл около 1772 Л. Эйлер , современная формулировка дана А. Лежандром , полное доказательство впервые дал в 1801 К. Гаусс . Удобным обобщением символа Лежандра является Якоби символ . Закон взаимности К. в. получил многочисленные обобщения в теории алгебраических чисел. И. М. Виноградовыми др.учёными изучалось распределение К. в. и суммы значений символа Лежандра.

Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.