интегралы, интегралы вида
,
где R ( x, у ) - рациональная функция х и , а Р ( х ) - многочлен 3-й или 4-й степени без кратных корней.
Под Э. и. первого рода понимают интеграл
(1)
под Э. и. второго рода - интеграл
где k - модуль Э. и., 0 < k < 1 ( х sin j, t sin a. Интегралы в левых частях равенств (1) и (2) называются Э. и. в нормальной форме Якоби, интегралы в правых частях - Э. и. в нормальной форме Лежандра. При х 1 или j p/2 Э. и называются полными и обозначаются, соответственно, через
и
Своё назв. Э. и. получили в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и a sin a , v b cos a( a < b ) . Длина дуги эллипса выражается формулой
где - эксцентриситет эллипса. Длина дуги четверти эллипса равна E ( k ) . Функции, обратные Э. и., называются эллиптическими функциями .