Значение ЭЙЛЕРА УРАВНЕНИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ЭЙЛЕРА УРАВНЕНИЯ

уравнения,

1) в механике - динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.

Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид

Ix + ( Iz - I y) wyw z Mx ,

I y + ( Ix -Iz ) w z w x M y, (1)

Iz + ( I y - Ix ) w x wy Mz ,

где Ix , I y, Iz - моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, w х ,wу,w z - проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, Mx , M y, Mz - гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; , , - проекции углового ускорения.

Кинематические Э. у. дают выражения w х ,wу, w z через Эйлеровы углы j, y, q и имеют вид

w x sin q sinj + cosj,

wуsin q cosj - sinj, (2)

w z + cos q.

Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.

2) В гидромеханике - дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р , плотность r, проекции скоростей частиц жидкости u , u ,w и проекции действующей объёмной силы X , У , Z рассматривать как функции координат x , у , z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:

,

,

.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X , У , Z , а также начальные и граничные условия, определить u ,u,w, р ,r, как функции х , у , z и t. Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера

.

В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния r j ( р ) (или r - const, когда жидкость несжимаема).

Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.

Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, ¬14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.

С. М. Тарг.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.