решение дифференциальных уравнений, получение аналитических выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения.
П. р. дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом , Ритца и Галёркина методами , Чаплыгина методом . Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения П. р. останавливаются на некотором шаге процесса.
Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за П. р. принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' f ( x, у ) , удовлетворяющее начальным условиям у ( х0 ) y0, причём известно, что f ( x, у ) - аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки ( х0, y0 ) . Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:
y ( x ) - y ( x0 ) .
Коэффициенты Ak ряда могут быть найдены либо по формулам:
A1 y-0 f ( x0, y0 ) ;
либо с помощью неопределенных коэффициентов метода . Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х - х0.
Часто (например, при изучении периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение основного уравнения можно искать в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом . Теоретическое обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре .
К численным методам относятся методы, позволяющие находить П. р. при некоторых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.
Поясним эти методы на примере уравнения
y- - f ( x, у )
с начальным условием у ( х0 ) y0 . Пусть точное решение этого уравнения представлено в некоторой окрестности точки х0 в виде ряда по степеням h х - х0 Основной характеристикой точности формул П. р. дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h П. р. совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения.
Основная идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у ( х ) в точках x1, x2,..., xn некоторого фиксированного отрезка [ х0 , b ] Так, для того чтобы вычислить у ( х1 ) , где х1 х0 + h, h ( b - x0 ) /n, представляют у ( х1 ) в виде конечного числа членов ряда по степеням h х1 - х0 . Например, ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у ( xk ) формулы:
,
Это т. н. метод ломаных Эйлера (на каждом отрезке [ xk, xk+1] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком - звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h2.
В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f ( x, у ) в некоторых точках, которая даёт с определённой точностью несколько первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Например, правая часть формулы Рунге:
,
где
;
;
;
дает первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h5.
В разностных формулах П. р. удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации у ( xi ), hiи разностей Dihj, где
hj hf ( xj, yj ); Dhj hj+1 - hj;
Dihj Di-1hj+1 - Di-1hj.
Примером разностной формулы П. р. является экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая 'разности' 3-го порядка:
даёт решение у ( х ) в точке xk с точностью до величин порядка h4 .
Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения
Формула
k 2
k 3
k 4
(1 + x )3 ' 1 + 3 x
0,04
0,012
0,004
0,06
0,022
0,007
0,19
0,062
0,020
0,20
0,065
0,021
0,31 (17|48')
0,144 (8|15')
0,067 (3|50')
0,10 (5|43')
0,031 (l'48')
0,010 (0|34')
0,25 (14|8')
0,112 (6|25')
0,053 (3|2')
0,14
0,47
0,015
0,04
0,014
0,004
0,25
0,119
0,055
формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:
особенно удобную для решения уравнений вида у'' f ( x, у ) . По этой формуле находят D2 yn-1, а затем yn+1 yn +D yn+ 1 + D2 yn-1 . Найдя yn+1 , вычисляют y-n+1 f ( xn+1, yn+1 ) , находят разности и повторяют процесс далее.
Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.
Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.
Кроме аналитических и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления ).
Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М.. 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973: Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер, с англ., М., 1955.