уравнение,
1) дифференциальное уравнение вида
, (*)
где a o, ... , an- постоянные числа; при х > 0 уравнение (*) подстановкой х et сводится к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Изучалось Л. Эйлером с 1740. К уравнению (*) сводится подстановкой x' ax + b уравнение
.
2) Дифференциальное уравнение вида
,
где X ( x ) a0x4 + a1x 3 + a 2 x 2 + a3x + a4 , Y ( y ) а0у4+а1у 3 +а2у 2 +а3у +a4. Л. Эйлер рассматривал это уравнение в ряде работ начиная с 1753. Он показал, что общее решение этого уравнения имеет вид F ( х , у ) 0, где F ( х , у ) - симметричный многочлен четвёртой степени от х и у. Этот результат Эйлера послужил основой теории эллиптических интегралов.
3) Дифференциальное уравнение вида
'
служащее в вариационном исчислении для разыскания экстремалей интеграла
.
Выведено Л. Эйлером в 1744.