Значение слова РЕЗОЛЬВЕНТА в Большой советской энциклопедии, БСЭ

РЕЗОЛЬВЕНТА

(лат. resolvens, родительный падеж resolventis - развязывающий, решающий, от resolvo - развязываю, решаю) (математическая), разрешающее уравнение, разрешающая функция (ядро) или разрешающие операторы.

В алгебре термин 'Р.' употребляется в нескольких смыслах. Так, под Р. алгебраического уравнения f ( x )0 степени n понимают такое алгебраическое уравнение g ( x ) 0с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов f ( x ), что знание корней этого уравнения позволяет найти корни данного уравнения f ( x )0 в результате решения более простых уравнений, степеней не больших n. Например, уравнение

является одной из (кубической) Р. уравнения четвёртой степени

x 4 + a 1 x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4 0.(1)

Если u1,u2,u3 - корни этой Р., то корни x 1, x 2, x 3, x 4 уравнения (1) могут быть найдены решением квадратных уравнений s2 - u ks + a 4 0, k 1, 2, 3 . Именно, если xk, hk - корни этих квадратных уравнений, то x 1 x 2x1, x 3 x 4h1, x 1 x 3x2, x 2 x 4h2, x 1 x 4 x3, x 2 x 3h3 и x 12x1x2/h3 и т. д. Резольвентой Галуа уравнения f ( x )0 называется такое неприводимое над данным полем алгебраическое уравнение g ( x )0 (см. Галуа теория ), что в результате присоединения одного из его корней к этому полю получается поле, содержащее все корни уравнения f ( x ) 0 .

В несколько ином смысле термин 'Р.' употребляется в т. н. проблеме резольвент Гильберта и Чеботарева.

В теории интегральных уравнений под Р. (разрешающим ядром) уравнения

(2)

понимают функцию Г( х , t ,l) переменных s , t и параметра l, при помощи которой решение уравнения (2) представляют в виде

,

если l не есть собственное значение уравнения (2), например для ядра К ( s , t ) s + t резольвентой является функция

G (s, t ;l)

В теории линейных операторов под Р. оператора А понимают семейство операторов R l ( А - l E )-1, где комплексный параметр l принимает любые значения, не принадлежащие спектру оператора А.

Большая советская энциклопедия, БСЭ. 2012