в математике, 1) целая часть десятичного логарифма .
2) Понятие теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Х. дифференциального уравнения 1-го порядка
,(1)
где Р P ( x , y , z ), Q Q ( x , y , z ), R R ( x , y , z ) - заданные функции, называются кривые, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений
.(2)
Интегрируя систему (2), получают семейство характеристик j( x , y , z ) C1 , y( x , y , z ) C2 ( C1 , C2 - произвольные постоянные) как совокупность кривых, касающихся в каждой своей точке вектора { P , Q , R }. Всякая интегральная поверхность уравнения (1) представляет собой геометрическое место Х., пересекающих некоторую кривую; уравнение такой поверхности может быть записано в виде F [j( x , y , z ), y( x , y , z )] 0, где F - некоторая функция двух переменных. Обратно, чтобы найти интегральную поверхность, проходящую через заданную кривую (см. Коши задача ), достаточно построить геометрическое место Х., пересекающих эту кривую. Задача Коши имеет одно и только одно решение, если заданная кривая не является Х. Понятие Х. обобщается на случай дифференциального уравнения 1-го порядка с числом независимых переменных, большим двух.
Х. дифференциального уравнения 2-го порядка
(3)
были введены Г. Монжем (1784, 1795) как линии, вдоль которых удовлетворяется обыкновенное дифференциальное уравнение
.(4)
Если уравнение (3) принадлежит к гиперболическому типу, то получаются два семейства Х. с уравнениями x( x , y ) C1 и h( х , у ) C2 ( C 1, C 2 - произвольные постоянные); взяв x и h за новые аргументы, можно привести уравнение (3) к виду
.
Для уравнения (3) параболического типа эти семейства совпадают; если выбрать аргумент h произвольно, то уравнение (3) приведется к виду
.
Уравнение (3) эллиптического типа не имеет вещественных Х.; если записать решение уравнения (4) в виде x | i h C , то уравнение (3) преобразуется к виду
.
Значения решения и вдоль Х. и значения и в какой-либо её точке полностью определяют значения этих производных вдоль всей линии [на этом основан т. н. метод Х. решения краевых задач для уравнения (3)]; для других линий такой связи нет. С другой стороны, значения u , и , заданные на линии, не являющейся Х., определяют значения решения вблизи этой линии; для Х. же это не так. Если два решения уравнения (3) совпадают по одну сторону от некоторой линии и различны по другую, то эта линия непременно является Х.
Если коэффициенты уравнения (3) зависят от u , и (квазилинейный случай), то Х., определяемые из уравнения (4), будут разные для разных решений. Имеются определения Х. и для уравнений и систем уравнений с частными производными любого порядка.
Лит. см. при ст. Уравнения математической физики .