уравнения ,
1) в гидромеханике - уравнения движения жид кой среды, записанные в переменных Лагранжа, которыми являются координаты частиц среды. Из Л. у. определяется закон движения частиц среды в виде зависимостей координат от времени, а по ним находятся траектории, скорости и ускорения частиц. Обычно этот путь исследования оказывается достаточно сложным, и при решении большинства гидромеханических задач идут другим путём, используя Эйлера уравнения гидромеханики. Л. у. применяют главным образом при изучении колебательных движений жидкости.
Л. у. являются уравнениями в частных производных и имеют вид:
( i 1, 2, 3),
где t - время, х, у, z - координаты частицы, a1, a2, a3 - параметры, которыми отличаются частицы друг от друга (например, начальные координаты частиц), X, Y, Z - проекции объёмных сил, р - давление, r - плотность.
Решение конкретных задач сводится к тому, чтобы, зная X, Y, Z , а также начальные и граничные условия, найти х, у, z, р, r как функции t и а1, a2, a3 . При этом надо использовать ещё неразрывности уравнение (тоже в переменных Лагранжа) и уравнение состояния в виде r f ( Р ) (для несжимаемой жидкости r - const).
2) В общей механике - уравнения, применяемые для изучения движения механической системы, в которых за величины, определяющие положение системы, выбирают независимые между собой параметры, называют обобщёнными координатами . Впервые получены Ж. Лагранжем в 1760.
Движение механической системы можно изучать, используя или непосредственно уравнения, которые даёт 2-й закон динамики, или получаемые как следствия из законов динамики общие теоремы (см. Динамика ) . Первый путь приводит к необходимости решать большое число уравнений, зависящее от числа точек и тел, входящих в систему; кроме того, эти уравнения содержат дополнительные неизвестные в виде реакций наложенных связей (см. Связи механические ) . Всё это приводит к большим математическим трудностям. Второй путь требует применения каждый раз разных теорем и для сложных систем приводит в итоге к тем же трудностям.
Л. у. дают для широкого класса механических систем единый и достаточно простой метод составления уравнений движения, не зависящий от вида (сложности) конкретной системы. Большое преимущество Л. у. состоит в том, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему точек и тел. Например, машины и механизмы состоят из многих тел (деталей), а имеют обычно 1-2 степени свободы; следовательно, изучение их движения потребует составления лишь 1-2 Л. у. Кроме того, при идеальных связях из Л. у. автоматически исключаются все неизвестные реакции связей. По этим причинам Л. у. широко используются при решении многих задач механики, в частности в динамике машин и механизмов, в теории колебаний, теории гироскопа и др. Кроме этого, в случае, когда на систему действуют только потенциальные силы, Л. у. приводятся к виду, позволяющему использовать их (при соответствующем обобщении понятий) не только в механике, но и в др. областях физики.
Для голономных систем Л. у. в общем случае имеют вид:
( i 1,2, ..., n ),
где qi - обобщённые координаты, число которых равно числу n степеней свободы системы, - обобщённые скорости, Q i - обобщённые силы, Т - кинетическая энергия системы, выраженная через qi и .
Для составления уравнений (1) надо найти выражение Т и вычислить по заданным силам Qi . После подстановки Т в левые части уравнения (1) будут содержать координаты qi и их первые и вторые производные по времени, т. е. будут дифференциальными уравнениями 2-го порядка относительно qi . Интегрируя эти уравнения и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям, находят зависимости qi ( t ), т. е. закон движения системы в обобщённых координатах.
Когда на систему действуют только потенциальные силы, Л. у. принимают вид:
( i 1,2, ..., n ),
где L Т - П - т. н. функция Лагранжа, а П - потенциальная энергия системы. Эти уравнения используются и в др. областях физики.
Уравнения (1) и (2) называют ещё Л. у. 2-го рода. Кроме них, есть Л. у. 1-го рода, имеющие вид обычных уравнений в декартовых координатах, но содержащие вместо реакций связей пропорциональные им неопределённые множители. Особыми преимуществами эти уравнения не обладают и используются редко, главным образом для отыскания реакций связей, когда закон движения системы найден другим путём, например с помощью уравнений (1) или (2).
Лит. см. при ст. Механика . О Л. у. в гидромеханике см. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, 6 изд., ч. 1, М., 1963.
С. М. Тарг.