Значение ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ МЕТОД в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ МЕТОД

приближении метод, метод решения математических задач при помощи такой последовательности приближении, которая сходится к решению и строится рекуррентно (т. е. каждое новое приближение вычисляют, исходя из предыдущего; начальное приближение выбирается в достаточной степени произвольно). П. п. м. применяется для приближённого нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений, для доказательства существования решения и приближённого нахождения решений дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, для качественной характеристики решения и в ряде др. математических задач. 1) Для решения уравнения

f ( x ) 0(1)

составляют ему равносильное х j(х) , обозначив, например, через j(x) разность х - kf ( x )( k - постоянное). Выбрав a0 - начальное приближение к корню уравнения, составляют последовательность чисел a0, a1 j( a0 ) , a2 j( a1 ) , -, an j( an-1 ) , -; предел а , если он существует, является корнем уравнения (1), а числа a0, a1, a2,..., an,.. . - приближёнными значениями этого корня. Предел а будет существовать, например, если

(2)

и в качестве начального приближения a0 взято любое число.

Обычно, когда надо найти приближённое значение корня уравнения, устанавливают достаточно узкий интервал, в котором лежит корень (например, с помощью графических методов); затем подбирают k так, чтобы условие (2) выполнялось на всём интервале; за начальное приближение a0 выбирают любое число из этого интервала и применяют П. п. м. Практически, после того как два последовательных приближения an-1 и an совпадут с заданной степенью точности, вычисление прекращают и полагают an ' а. Пусть дано, например, уравнение f ( x ) . Так как ,то корень уравнения лежит в интервале . Положив , непосредственной проверкой убеждаемся, что для k условие (2) выполняется на всём интервале . Выбирем a0 и применим П. п. м. к уравнению . Получим a1 0,554, a2 0,570, a3 0,566 (на самом деле корень уравнения с тремя верными десятичными знаками равен a4 ' 0,567).

2) П. п. м. применяют для приближённого решения систем линейных алгебраических уравнений с большим числом неизвестных.

Пусть дана система трёх уравнений с тремя неизвестными:

(3)

Строят ей эквивалентную систему:

(4)

полагая, например,

и, пользуясь рекуррентными формулами:

xj c11xj-1 + c12yj-1 + c13zj-1 + d1

yj c21xj-1 + c22yj-1 + c23zj-1 + d2

zj c31xj-1 + c32yj-1 + c33zj-1 + d3

составляют последовательность ( x0 , у0, z0 ) , ( x1, у1, z1 ) ,..., ( xn, yn, zn ) ,... Если xn - a , yn - b , zn - g при неограниченном увеличении n, то тройка чисел х a , у b , z g будет решением системы (3). Пределы a, b, gзаведомо существуют, каковы бы ни были начальные приближения x0 , у0, z0, если, например, в каждом уравнении системы (4) сумма абсолютных величин коэффициентов cij меньше единицы.

3) Для того чтобы найти решение у у ( х ) дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию у0 у ( х0 ) , записывают это уравнение в виде

и, пользуясь рекуррентной формулой

составляют последовательность функций y1 ( x ) , у2 ( х ) , ..., yn ( x ),... Если она равномерно сходится, то предел её будет искомым решением.

4) Чтобы найти решение первой краевой задачи для уравнения

выбирают произвольную дважды дифференцируемую функцию u0 ( x, у ) и составляют затем линейное уравнение

.

Пусть u1 ( х, у ) - решение первой краевой задачи для уравнения (5); считая u1 первым приближением, составляют уравнения типа (5) для последующих приближений. Полученная последовательность { un ( x, у )} при некоторых предположениях сходится и даёт решение задачи.

О применимости П. п. м. см. статью Сжатых отображений принцип .

Большая советская энциклопедия, БСЭ.