Значение КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ

интеграл, интеграл от функции, заданной в какой-либо области на плоскости, в трёхмерном или n -мерном пространстве. Среди К. и. различают двойные интегралы, тройные интегралы и т. д. n -кратные интегралы.

Пусть функция f ( x, y ) задана в некоторой области D плоскости хОу. Разобьем область D на n частичных областей di, площади которых равны si, выберем в каждой области di точку ( xi , hi ) (см. рис. ) и составим интегральную сумму

.

Если при неограниченном уменьшении максимального диаметра частичных областей di суммы S имеют предел независимо от выбора точек ( xi , hi ), то этот предел называют двойным интегралом от функции f ( x, у ) по области D и обозначают

.

Аналогично определяется тройной интеграл и вообще n -кратный интеграл.

Для существования двойного интеграла достаточно, например, чтобы область D была замкнутой квадрируемой областью , а функция f ( x, y ) была непрерывна в D. К. и. обладают рядом свойств, аналогичных свойствам простых интегралов . Для вычисления К. и. обычно приводят его к повторному интегралу . В специальных случаях для сведения К. и. к интегралам меньшей размерности могут служить Грина формулы и Остроградского формула . К. и. имеют обширные применения: с их помощью выражаются объёмы тел, их массы, статические моменты, моменты инерции и т. п.

Лит. см. при статьях Интегральное исчисление , Интеграл .

Большая советская энциклопедия, БСЭ.