Значение ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

исчисление, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями И. и. являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного.

Определённый интеграл. Пусть требуется вычислить площадь S 'криволинейной трапеции' - фигуры ABCD (см. рис. ), ограниченной дугой непрерывной линии, уравнение которой у f ( x ), отрезком AB оси абсцисс и двумя ординатами AD и BC. Для вычисления площади S этой криволинейной трапеции основание AB (отрезок [ a , b ]) разбивают на n участков (необязательно равных) точками а x 0 < x 1 < ... < x n-1 < < x n b , обозначая длины этих участков D x 1, D x 2, ..., D x n; на каждом таком участке строят прямоугольники с высотами f (x1), f (x2), ..., f (x n ) где x k - некоторая точка из отрезка [ xk - 1, xk ] (на рис. заштрихован прямоугольник, построенный на k-м участке разбиения; f (xk) - его высота). Сумма Sn площадей построенных прямоугольников рассматривается в качестве приближения к площади S криволинейной трапеции:

S ' Sn f (x1) D x 1 + f (x2) D x 2 + f (x n ) D xn

или, применяя для сокращения записи символ суммы S (греческая буква 'сигма'):

Указанное выражение для площади криволинейной трапеции тем точнее, чем меньше длины D xk участков разбиения. Для нахождения точного значения площади S надо найти предел сумм Sn в предположении, что число точек деления неограниченно увеличивается и наибольшая из длин D xk стремится к нулю.

Отвлекаясь от геометрического содержания рассмотренной задачи, приходят к понятию определённого интеграла от функции f ( x ), непрерывной на отрезке [ а, b ], как к пределу интегральных сумм Sn при том же предельном переходе. Этот интеграл обозначается

Символ ò (удлинённое S - первая буква слова Summa) называется знаком интеграла, f ( x ) - подинтегральной функцией, числа а и b называются нижним и верхним пределами определённого интеграла. Если а b , то, по определению, полагают

кроме того,

Свойства определённого интеграла:

( k - постоянная). Очевидно также, что

(численное значение определённого интеграла не зависит от выбора обозначения переменной интегрирования).

К вычислению определённых интегралов сводятся задачи об измерении площадей, ограниченных кривыми (задачи 'нахождения квадратур'), длин дуг кривых ('спрямление кривых'), площадей поверхностей тел, объёмов тел ('нахождение кубатур'), а также задачи определения координат центров тяжести, моментов инерции, пути тела по известной скорости движения, работы, производимой силой, и многие другие задачи естествознания и техники. Например, длина дуги плоской кривой, заданной уравнением у f ( x ) на отрезке [ a , b ], выражается интегралом

объём тела, образованного вращением этой дуги вокруг оси Ox ,- интегралом

поверхность этого тела - интегралом

Фактическое вычисление определённых интегралов осуществляется различными способами. В отдельных случаях определённый интеграл можно найти, непосредственно вычисляя предел соответствующей интегральной суммы. Однако большей частью такой переход к пределу затруднителен. Некоторые определённые интегралы удаётся вычислять с помощью предварительного отыскания неопределённых интегралов (см. ниже). Как правило же, приходится прибегать к приближённому вычислению определённых интегралов, применяя различные квадратурные формулы (например, трапеций формулу , Симпсона формулу ). Такое приближённое вычисление может быть осуществлено на ЭВМ с абсолютной погрешностью, не превышающей любого заданного малого положительного числа. В случаях, не требующих большой точности, для приближённого вычисления определённых интегралов применяют графические методы (см. Графические вычисления ).

Понятие определённого интеграла распространяется на случай неограниченного промежутка интегрирования, а также на некоторые классы неограниченных функций. Такие обобщения называются несобственными интегралами . Выражения вида

где функция f ( x , a) непрерывна по x называются интегралами, зависящими от параметра. Они служат основным средством изучения многих специальных функций (см., например, Гамма-функция ).

Неопределённый интеграл. Нахождение неопределённых интегралов, или интегрирование, есть операция, обратная дифференцированию. При дифференцировании данной функции ищется её производная. При интегрировании, наоборот, ищется первообразная (или примитивная) функция - такая функция, производная которой равна данной функции. Таким образом, функция F ( x ) является первообразной для данной функции f ( x ), если F' ( x ) f ( x ) или, что то же самое, dF ( x ) f ( x ) dx. Данная функция f ( x ) может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Поэтому все первообразные для f ( x ) содержатся в выражении F ( x ) + С , которое называют неопределённым интегралом от функции f ( x ) и записывают

Определённый интеграл как функция верхнего предела интегрирования

('интеграл с переменным верхним пределом'), есть одна из первообразных подинтегральной функции. Это позволяет установить основную формулу И. и. (формулу Ньютона - Лейбница):

выражающую численное значение определённого интеграла в виде разности значений какой-либо первообразной подинтегральной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Взаимно обратный характер операций интегрирования и дифференцирования выражается равенствами

Отсюда следует возможность получения из формул и правил дифференцирования соответствующих формул и правил интегрирования (см. табл., где C , m , a , k - постоянные и m ¹-1, а > 0).

Таблица основных интегралов и правил интегрирования

-

-

Трудность И. и. по сравнению с дифференциальным исчислением заключается в том, что интегралы от элементарных функций не всегда выражаются через элементарные, могут не выражаться, как говорят, 'в конечном виде'. И. и. располагает лишь отдельными приёмами интегрирования в конечном виде, область применения каждого из которых ограничена (способы интегрирования излагаются в учебниках математического анализа: обширные таблицы интегралов приводятся во многих справочниках).

К классу функций, интегралы от которых всегда выражаются в элементарных функциях, принадлежит множество всех рациональных функций

где P ( x ) и Q ( x ) - многочлены. Многие функции, не являющиеся рациональными, также интегрируются в конечном виде, например функции, рационально зависящие от

или же от x и рациональных степеней дроби

В конечном виде интегрируются и многие трансцендентные функции, например рациональные функции синуса и косинуса. Функции, которые изображаются неопределёнными интегралами, не берущимися в конечном виде, представляют собой новые трансцендентные функции. Многие из них хорошо изучены (см., например, Интегральный логарифм , Интегральный синус и интегральный косинус , Интегральная показательная функция ).

Понятие интеграла распространяется на функции многих действительных переменных (см. Кратный интеграл , Криволинейный интеграл , Поверхностный интеграл ), а также на функции комплексного переменного (см. Аналитические функции ) и вектор-функции (см. Векторное исчисление ).

О расширении и обобщении понятия интеграла см. ст. Интеграл .

Историческая справка. Возникновение задач И. и. связано с нахождением площадей и объёмов. Ряд задач такого рода был решен математиками Древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи И. и. в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывания метод , созданный Евдоксом Книдским и широко применявшийся Архимедом . Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приёмов и понятия об интеграле, а тем более не создал алгоритма И. и. Учёные Среднего и Ближнего Востока в 9-15 вв. изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в И. и. они не получили. Деятельность европейских учёных в это время была ещё более скромной. Лишь в 16 и 17 вв. развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение центров тяжести. Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов дальнейшего развития И. и. Античный 'неделимых' метод был возрожден И. Кеплером . В более общей форме идеи этого метода были развиты Б. Кавальери , Э. Торричелли , Дж. Валлисом , Б. Паскалем . Методом 'неделимых' был решен ряд геометрических и механических задач. К этому же времени относятся опубликованные позднее работы П. Ферма по квадрированию парабол n -й степени, а затем - работы Х. Гюйгенса по спрямлению кривых.

В итоге этих исследований выявилась общность приёмов интегрирования при решении внешне несходных задач геометрии и механики, приводившихся к квадратурам как к геометрическому эквиваленту определённого интеграла. Заключительным звеном в цепи открытий этого периода было установление взаимно обратной связи между задачами на проведение касательной и на квадратуры, т. е. между дифференцированием и интегрированием. Основные понятия и алгоритм И. и. были созданы независимо друг от друга И. Ньютоном и Г. Лейбницем . Последнему принадлежит термин 'интегральное исчисление' и обозначение интеграла ò ydx.

При этом в работах Ньютона основную роль играло понятие неопределённого интеграла (флюенты, см. Флюксий исчисление ), тогда как Лейбниц исходил из понятия определённого интеграла. Дальнейшее развитие И. и. в 18 в. связано с именами И. Бернулли и особенно Л. Эйлера . В начале 19 в. И. и. вместе с дифференциальным исчислением было перестроено О. Коши на основе теории пределов. В развитии И. и. в 19 в. приняли участие русские математики М. В. Остроградский , В. Я. Буняковский , П. Л. Чебышев . В конце 19 - начале 20 вв. развитие теории множеств и теории функций действительного переменного привело к углублению и обобщению основных понятий И. и. (Б. Риман , А. Лебег и др.).

Лит.: История. Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Строек Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М.. Vorleslingen uber Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - B., 1901-24.

Работы основоположников и классиков И. и. Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М.-Л., 1937; Лейбниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с. латин., 'Успехи математических наук', 1948, т. 3, в. 1; Эйлер Л., Интегральное исчисление, пер. с латин., тт. 1-3, М., 1956-58; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.

Учебники и учебные пособия по И. и. Хинчин Д. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., 1957; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Ильин В., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Двайт Г.-Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы, пер. с англ., М., 1964.

Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.

Большая советская энциклопедия, БСЭ. 2012