Значение ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ

Э. интегралами называются все квадратуры вида: ? f(x,? X)dx, где Х есть какой-либо многочлен (полином) третьей или четвертой степени от х; f есть какая-либо рациональная функция от х и ?X. Все такие интегралы могут быть выражены в интегралах первого, второго и третьего рода. Интеграл первого рода в нормальной форме имеет вид:

| ? | |

| - - |

| F(?) = ? | d?/??, (1) |

| - - |

| 0 | |

- где ?? означает корень: ?? = ?(1—k ²Sin²?). Значит F есть функция от ?, верхнего предела ?, заключающая в себе еще постоянную величину k, называемую модулем. Если положим х = Sin?, то интеграл F(?), который теперь обозначим через u, будет иметь вид:

| x | |

| - - |

| u = ? | dx/ \[?(1—x²)(1— k²x²)\] = F(?) |

| - - |

| 0 | |

- Так как u есть функция от ?, то, обратно, ? есть функция от и. Эту обратную функцию называют амплитудой от и по модулю k. Ее обозначают так: ? = am( u, k) или просто ? = am u. Ближайшее рассмотрение показывает, что с равномерным возрастанием u функция amu возрастает непрерывно, но периодически, то возрастая быстрее, чем следовало бы по закону равномерности, то медленнее, чем следовало бы по тому же закону. Когда ? достигает величин ?, ?, ³/₂ ?, 2?,...., то и достигает величин K, 2K, 3K, 4K..., где

| ?/2 | |

| - - |

| K = ? | d?/??, (2) |

| - - |

| 0 | |

- Величины х = Sin?, ?(1—х²) = Cos? и ?? суть Э. функции от и; так как ? = amu, то: х = ? (и,а) = A; ?(1—x²) = Cos am u, ?(1—k²x² ) = ? amu; эти функции от и называются синус амплитуда, косинус амплитуда, дельта амплитуда. Из вышесказанного следует, что: d? = d.amu = du.?? = ?amu.du. (3) Нормальная форма Э. интеграла второго рода следующая:

| ? | |

| - - |

| E(?) = ? | ?? d?, (4) |

| - - |

| 0 | |

- а если, согласно предыдущему, ввести вместо d? выражение (3) его в du, то отсюда, следуя обозначению Якоби, получим:

| u | |

| - - |

| E(u) = ? | ?²amu du, (5) |

| - - |

| 0 | |

- При ? равном ??, когда u (по формуле (2)) обращается в K, интеграл (4) обращается в величину, обозначаемую буквой Е:

| ^?/₂ | |

| - - |

| E = ? | ?? d?, (6) |

| - - |

| 0 | |

- а по формуле (5): Е = Е(К). Дополнительным модулем назыв. величина k', квадрат которой равен (1— k²), так что k²+ (k')²= 1. Означим через ?₁? следующий корень: ?₁? = ? \[1 — (k)²Sin² ?\] и составим следующие интегралы:

| ?/2 | |

| - - |

| K' = ? | d?/?1?, |

| - - |

| 0 | |

| - - |

| ?/2 | |

| - - |

| E = ? | ?? d?, |

| - - |

| 0 | |

- Лежандр показал, что между четырьмя величинами K, Е, К' и E существует следующая зависимость: KE' + K'E—KK' = ?? (7). Интегралы третьего рода имеют такой вид:

| ? | |

| - - |

| ? | d?/\[(1— nSin²?)??\] |

| - - |

| 0 | |

- Якоби взял в качестве нормального вида интегралов этого рода интеграл, обозначенный им через П (и,а), а именно, следующий:

| u | |

| - - |

| ? (и,а) = A ? | Sin²amu x du /\[(1— k² Sin²amaSin²am u\] (8) |

| - - |

| 0 | |

- где А = k² Sin am a Cos am а ? am а. Как Э. интегралы, так и Э. функции могут быть выражены помощью особой трансцентной функции ?(u) или ?(x), называемой функцией тета Якоби. Функция эта может быть представлена в виде бесконечного ряда: ? (и) = 1 — 2qCos2x + 2q⁴Cos4x — 2q⁹Cos3x + 2q¹⁶Cos8x —... (9) или в виде суммы бесконечного числа членов ?(u) = ?(x) = ?(—1)ⁿqⁿ²e²^nxi... (10). Здесь х имеет иное значение, чем в начале этой статьи; а именно, все входящие в (9) и (10) знаки имеют следующие значения: x = ?u/2K, q = exp(—?K'/K), i = ?(—1), n в сумме ? означает всякие целые полож. и отриц. числа от —? до + ?. При помощи этой функции интегралы второго и третьего рода выразятся так: E(u) = (E/K) u + ?'(u)/?(u)... (11) ?( (u,a) = u ?(a)/?'(a\[ ) + ? log?(u—a)/?(u + a)\], (12), где ?'(u) означает производную от ?(u) по u. Из функции ?(х) Якоби составляет еще три функции следующим образом. Если прибавить к и величину K, то к х прибавится величина ?/2, а если прибавить к u величину (— iK'), то к х прибавится ¹/₂ ilogq. Новые функции Якоби получает и обозначает таким образом: ?₁(х) = is?(x + ¹/₂ilogq) ?₂(х) = s?(x + ?/2 + ^? ilogq) ?₃(x) = ? (x + ?/3), где s = (q)^1/4 e^—^x. В этих функциях выразятся эллиптические функции синус, косинус и дельта амплитуды так: Sin am u = (?k) ^-1\[?₁(x)/? (x)\], Cos am u = ?(k'/k) ?₂(x)/?(x), ?am u = ?k' \[?₃(x)/?(x)\], где x = ?u/2K. Функции эти обладают двоякой периодичностью в следующем смысле. Если и есть комплексная переменная (см. Мнимые величины): и = х + yi, то каждая из этих функций обратится в Х + Yi, где Х и Y будут функциями от x и у, т. е.: Х = f₁(x, y,), Y = f₂(x, y). Эти две функции представляют собой две поверхности, покрывающие неограниченную плоскость, точки которой, отнесенные к двум взаимно ортогональным осям имеют абсциссы х и ординаты у. Обе эти поверхности периодичны и имеют период 2К параллельно оси абсцисс и другой период 2К' параллельно оси ординат, так что высота каждой из этих поверхностей над четырьмя точками, имеющими координаты: (х, y), (х + 2К,у), (х, y + 2K'), (x + 2K, у + 2К') одинаковы. Вейерштрасс (см.) в своей теории эллиптических функций берет следующий Э. интеграл:

| ? | |

| - - |

| и = ? | dy /\[?(4y³— g₂y — g₃ )\] ... (13) |

| - - |

| 0 | |

- Нижний предел s этого интеграла представляет собой некоторую Э. функцию от u; эту функцию обозначим так: s = pu; квадрат её производной по u выразится так: (p'u)²= (dpu/du)² = 4(pu)³— g₂pu — g_3.(14). Вторая часть этого равенства может быть представлена в виде: 4\[(pu — e₁)(pu — e₂)(pu — e₃)\], где е₁, е₂, е₃ суть три корня уравнения третьей степени 4y³—g₂y —g₃ = 0. Величины g₂и g₃ называются инвариантами этого уравнения. Составленное из них выражение ? = g³₂—27g³₂ называется дискриминантом уравнения. Если он положительный, т. е. ?\>0, то все три корня уравнения действительные. Мы условимся называть через е₁ больший, через е₂средний и через е₃ меньший корень, причем е₁ положительная величина, е₃— величина отрицательная. Сумма е₁ + е₂ + е₃ равна нулю. Когда дискриминант отрицательный, то только один корень, который назовем через е₂, действительный, два другие мнимые сопряженные; тот, у которого мнимая часть положительная, означим через е₁. В этом случае, конечно, также е₁ + е₂ + е₃ = 0. Функция pu имеет два примитивные периода

| ? | |

| - - |

| 2?₁ = ? | dy /\[?(4y³—g₂y —g₃ )\] = 2K/\[?(e₁ — e₃ )\] |

| - - |

| 0 | |

- и 2?₃= 2K/\[?(e₁ — e₃ )\], причем р?₁= е₁, р?₃= е₃, а если положить ?₂ = ?₁ + ?₃, то р?₂= е₂. Величины k² и k'² выражаются так: k²= (е₂—е₃)/ (е₁—е₃), (k')²= (е₁—е₂)/(е₁—е₃). Когда k² есть действительная величина, то точки 0, 2?₁, 2?₃ находятся на плоскости u в вершинах прямоугольного треугольника, имеющего вершину прямого угла в точке 0. Когда k² есть комплексная величина с положительной мнимой частью, то точки 0, 2?₁, 2?₃, образуют остроугольный треугольник, с острым углом при 0. Если же мнимая часть комплексной величины k² отрицательная, то 0 будет вершиной тупого угла. Функция pu может быть выражена следующим образом через синус амплитуды: pu = e₃(e₁—e₃)/ \[Sin²am(u?(e₁—e₂)\]; отсюда не трудно выразить в pu все три Э. функции. Вместо функции тета Вейерштрасс вводит функцию ?u, удовлетворяющую дифференциальному уравнению: pu = (d²/du²) log(?u). Теория Э. функций, по изложению Якоби, находится в следующих книгах: "Fundamenta nova theorise functionum ellipticarum" (в 1-м томе "Jacobi's gesammelte Werke", Б., 1881); Dur?ge, "Theorie der elliptischen Functionen" (Лпц., 1861). Теория по Вейерштрассу изложена в книгах: Halphen, "Trait? des fonctions elliptiques" (1-я часть, П., 1886); Appell et Lacour, "Principes de la th?orie des fonctions elliptiques" (П., 1897); Schwarz, "Formeln und Lehrs?tze zum Gebrauche der elliptischen Functionen, nach Vorlesungen und Anzeichnungen von Weierstrass"; Enneper, "Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte" (2-е изд., Галле, 1890). Д. Б.

Брокгауз и Ефрон. Брокгауз и Евфрон, энциклопедический словарь. 2012