интеграл, формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция f ( x ) удовлетворяет на каждом конечном отрезке условию Дирихле (см. Фурье ряд ) и если сходится
,
то
.(1)
Эта формула впервые встречается при решении некоторых задач теплопроводности у Ж. Фурье (1811), но её доказательство было дано позже другими математиками. Формулу (1) можно представить также в виде
,(2)
где
;
.
В частности для чётных функций
,
где
.
Формулу (2) можно рассматривать как предельную форму ряда Фурье для функций, имеющих период 2 T , когда Т - ¥. При этом а ( u ) и b ( u ) аналогичны коэффициентам Фурье функции f ( x ). Употребляя комплексные числа, можно заменить формулу (1) формулой
.
Формулу (1) можно преобразовать также к виду
(3)
(простой интеграл Фурье).
Если интегралы в формулах (2), (3) расходятся (см. Несобственные интегралы ), то во многих случаях их можно просуммировать к f ( x ) при помощи того или иного метода суммирования . При решении многих задач используются формулы Ф. и. для функций двух и большего числа переменных.
Лит.: Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М. - Л., 1948.