? Э. интегралами называются все квадратуры вида:
? ? f(x,v X)dx,
где Х есть какой-либо многочлен (полином) третьей или четвертой степени от х ; f есть
какая-либо рациональная функция от х и v X . Все такие интегралы могут быть выражены в интегралах первого, второго и третьего рода.
Интеграл первого рода в нормальной форме имеет вид:
? F (? ) = ? d ? / ?? , (1) 0
где ?? означает корень:
?? = v(1? k 2 Sin 2 ?).
Значит F есть функция от ?, верхнего предела ?, заключающая в себе еще постоянную величину k , называемую модулем.
Если положим х = Sin ?, то интеграл F (?), который теперь обозначим через u, будет иметь вид:
x u = ? dx/ [v(1?x 2 )( 1? k 2 x 2 )] = F( ?) 0
Так как u есть функция от ?, то, обратно, ? есть функция от и. Эту обратную функцию называют амплитудой от и по модулю k. Ее обозначают так: ?? = аm( u, k) или просто ? = аm u . Ближайшее рассмотрение показывает, что с равномерным возрастанием u функция аm u возрастает непрерывно, но периодически, то возрастая быстрее, чем следовало бы по закону равномерности, то медленнее, чем следовало бы по тому же закону. Когда ? ?достигает величин ?, ?, 3 / 2 ?, 2 ?,...., то и достигает величин K, 2K, 3K, 4K.. ...., где
? /2 K = ? d ? / ?? , (2) 0
Величины х = Sin ? , v(1?х 2 ) = Cos ? и ?? суть Э. функции от и ; так как ? = аm u , то:
х = ? ( и,а ) = A; v(1?x 2 ) = Cos am u ,
v(1? k 2 x 2 ) = ? am u ;
эти функции от и называются синус амплитуда, косинус амплитуда, дельта амплитуда. Из вышесказанного следует, что:
d ? = d .am u = du . ?? = ? am u . du. (3)
Нормальная форма Э. интеграла второго рода следующая:
? E(?) = ? ?? d ? , (4) 0
а если, согласно предыдущему, ввести вместо d ? выражение (3) его в du, то отсюда, следуя обозначению Якоби, получим:
u E ( u) = ? ? 2 am u du , (5) 0
При ? равном ??, когда u (по формуле (2)) обращается в K , интеграл (4) обращается в величину, обозначаемую буквой Е:
? / 2 E = ? ?? d ? , (6) 0
а по формуле (5):
Е = Е(К).
Дополнительным модулем назыв. величина k' , квадрат которой равен ( 1 ? k 2 ), так что
k 2 + ( k' ) 2 = 1. Означим через ? 1 ? следующий корень:
? 1 ? = v [1 ? ( k ) 2 Sin 2 ? ? ]
и составим следующие интегралы:
? /2 K` = ? d ? / ? 1 ? , 0 ? /2 E = ? ?? d ? , 0
Лежандр показал, что между четырьмя величинами K , Е, К' и E существует следующая зависимость:
KE' + K'E?KK' = ? ? (7).
Интегралы третьего рода имеют такой вид:
? ? d ? /[(1? nSin 2 ?) ?? ] 0
Якоби взял в качестве нормального вида интегралов этого рода интеграл, обозначенный им через П ( и,а ), а именно, следующий:
u ? ( и,а ) = A ? Sin 2 am u x du /[(1? k 2 Sin 2 am aSin 2 am u] (8) 0
где А = k 2 Sin am a Cos am а ? am а .
Как Э. интегралы, так и Э. функции могут быть выражены помощью особой трансцентной функции ? (u) или ? ( x ), называемой функцией тета Якоби. Функция эта может быть представлена в виде бесконечного ряда:
? ( и ) = 1 ? 2 q Cos2 x + 2q 4 Cos4 x ? 2q 9 Cos3 x + 2 q 16 Cos8 x ?... (9)
или в виде суммы бесконечного числа членов
? ( u ) = ? ( x ) = ?(?1) n q n 2 e 2 nxi ... (10).
Здесь х имеет иное значение, чем в начале этой статьи; а именно, все входящие в (9) и (10) знаки имеют следующие значения:
x = ? u/2K, q = exp(? ? K`/K), i = v ( ? 1),
n в сумме ? означает всякие целые полож. и отриц. числа от ?? до + ?.
При помощи этой функции интегралы второго и третьего рода выразятся так:
E(u) = ( E/K) u + ? '( u )/ ? ( u ) ... (11)
? (?? u,a) = u ? ( a )/ ? ' ( a ) + ? log?[ ? ( u?a )/ ? ( u + a )], (12),
где ? '( u ) означает производную от ? ( u ) по u .
Из функции ? (х) Якоби составляет еще три функции следующим образом.
Если прибавить к и величину K , то к х прибавится величина ?/2, а если прибавить к u величину (? iK'), то к х прибавится 1 / 2 i log q . Новые функции Якоби получает и обозначает таким образом:
? ? (х) = is ? (x + 1 / 2 i log q )
? 2 (х) = s ? (x + ? /2 + ? i log q )
? 3 (x) = ? (x + ? /3),
где s = (q) 1/4 e ? x .
В этих функциях выразятся эллиптические функции синус, косинус и дельта амплитуды так:
Sin am u = (vk) -1 [ ? 1 ( x )/ ? (x)],
Cos am u = v(k`/k) ? 2 (x)/ ? (x),
?аm u = v k' [ ? 3 (x)/ ? (x)],
где x = ? u/ 2 K.
Функции эти обладают двоякой периодичностью в следующем смысле.
Если и есть комплексная переменная (см. Мнимые величины): и = х + yi, то каждая из этих функций обратится в Х + Yi , где Х и Y будут функциями от x и у , т. е.:
Х = f 1 (x, y,), Y = f 2 (x, y) .
Эти две функции представляют собой две поверхности, покрывающие неограниченную плоскость, точки которой, отнесенные к двум взаимно ортогональным осям имеют абсциссы х и ординаты у . Обе эти поверхности периодичны и имеют период 2К параллельно оси абсцисс и другой период 2 К ' параллельно оси ординат, так что высота каждой из этих поверхностей над четырьмя точками, имеющими координаты: ( х, y), (х + 2К,у), (х, y + 2 K' ), ( x + 2 K , у + 2К') одинаковы.
Вейерштрасс (см.) в своей теории эллиптических функций берет следующий Э. интеграл:
? и = ? dy /[v(4y 3 ? g 2 y ? g 3 )] ... (13) 0
Нижний предел s этого интеграла представляет собой некоторую Э. функцию от u ; эту функцию обозначим так: s = pu ;
квадрат её производной по u выразится так:
(p'u) 2 = (dpu/du) 2 = 4(pu) 3 ? g 2 pu ? g 3. (14).
Вторая часть этого равенства может быть представлена в виде:
4[(рu ? e 1 )(pu ? e 2 )(pu ? e 3 ) ],
где е 1 , е 2 , е 3 суть три корня уравнения третьей степени 4 y 3 ? g 2 y ? g 3 = 0. Величины g 2 и g 3 называются инвариантами этого уравнения. Составленное из них выражение
? = g 3 2 ?27g 3 2
называется дискриминантом уравнения. Если он положительный, т. е. ? > 0, то все три корня уравнения действительные. Мы условимся называть через е 1 больший, через е 2 средний и через е 3 меньший корень, причем е 1 положительная величина, е 3 ? величина отрицательная. Сумма е 1 + е 2 + е 3 равна нулю. Когда дискриминант отрицательный, то только один корень, который назовем через е 2 , действительный, два другие мнимые сопряженные; тот, у которого мнимая часть положительная, означим через е 1 . В этом случае, конечно, также е 1 + е 2 + е 3 = 0.
Функция pu имеет два примитивные периода
? 2 ? 1 = ? dy /[v(4y 3 ?g 2 y ?g 3 )] = 2K/[v(e 1 ? e 3 )] 0
и 2? 3 = 2K/[v(e 1 ? e 3 )] ,
причем р ? 1 = е 1 , р? 3 = е 3 , а если положить ? 2 = ? 1 + ? 3 , то р ? 2 = е 2 .
Величины k 2 и k' 2 выражаются так:
k 2 = ( е 2 ? е 3 )/ ( е 1 ? е 3 ), ( k' ) 2 = ( е 1 ? е 2 )/( е 1 ? е 3 ).
Когда k 2 есть действительная величина, то точки 0, 2 ? 1 , 2 ? 3 находятся на плоскости u в вершинах прямоугольного треугольника, имеющего вершину прямого угла в точке 0.
Когда k 2 есть комплексная величина с положительной мнимой частью, то точки 0, 2? 1 , 2 ? 3 , образуют остроугольный треугольник, с острым углом при 0. Если же мнимая часть комплексной величины k 2 отрицательная, то 0 будет вершиной тупого угла.
Функция pu может быть выражена следующим образом через синус амплитуды:
рu = e 3 ( e 1 ? e 3 )/ [Sin 2 am( uv(e 1 ? e 2 )];
отсюда не трудно выразить в pu все три Э. функции.
Вместо функции тета Вейерштрасс вводит функцию ? u , удовлетворяющую дифференциальному уравнению:
рu = ( d 2 / du 2 ) log (? u).
Теория Э. функций, по изложению Якоби, находится в следующих книгах: "Fundamenta nova theorise functionum ellipticarum" (в 1-м томе "Jacobi's gesammelte Werke", Б., 1881); Dur ège, "Theorie der elliptischen Func tionen" (Лпц., 1861). Теория по Вейерштрассу изложена в книгах: Halphen, "Trait e des fonctions elliptiques" (1-я часть, П., 1886); Appell et Lacour, "Principes de la th e orie des fonctions elliptiques" (П., 1897); Schwarz, "Formeln und Lehrs atze zum Gebrauc he der elliptischen Functionen, nach Vorlesungen und Anzeichnungen von Weierstrass"; Enneper, "Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte" (2-е изд., Галле, 1890).
Д. Б.