Значение ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

функции, функции, связанные с обращением эллиптических интегралов . Э. ф. применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчётов.

Подобно тому как тригонометрическая функция u sinx является обратной по отношению к интегралу

так обращение нормальных эллиптических интегралов 1-го рода

где z sin jw, k - модуль эллиптического интеграла, порождает функции: j am z - амплитуда z (эта функция не является Э. ф.) и w sn z sin (am z ) - синус амплитуды. Функции cn - косинус амплитуды и dn z - дельта амплитуды определяются формулами

Функции sn z, cn z, dn z называют Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением

sn2 z + cn2zk2sn2 z + dn2 z 1 .

На рис. представлен вид графиков Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением

sn2 z + cn2z k 2sn2 z + dn2 z 1

На рис. представлен вид графиков Э. ф. Якоби для действительного x и 0 < k < 1; а

- полный нормальный эллиптический интеграл 1-го рода и 4 K - основной период Э. ф. sn z. В отличие от однопериодической функции sin х, функция sn z - двоякопериодическая. Её второй основной период равен 2 iK, где

и - дополнительный модуль. Периоды, нули и полюсы Э . ф. Якоби приведены в таблице, где m и n - любые целые числа.

Функции

Периоды

Нули

Полюсы

sn z

4 Km + 2 iK'n

2 mK + 2 iK'n

}2 mK + (2 n + 1) iK'

cn z

4 K + (2 K + 2 iK' ) n

(2 m + 1) K + 2 iK'n

dn z

2 Km + 4 iK'n

(2 m + 1) K + (2 n + 1) iK

Э. ф. Вейерштрасса Ã( х ) может быть определена как обратная нормальному эллиптическому интегралу Вейерштрасса 1-го рода

где параметры g 2 и g 2 - называются инвариантами Ã( x ) . При этом предполагается, что нули e 1, e 2 и e 3 многочлена 4 t 3 - g 2 t - g 3различны между собой (в противном случае интеграл (*) выражался бы через элементарные функции). Э. ф. Вейерштрасса Ã( х ) связана с Э. ф. Якоби следующими соотношениями:

,

,

.

Любая мероморфная двоякопериодическая функция f ( z ) с периодами w1 и w2, отношение которых мнимо, т. е. f ( z + m w1 + п w2) f ( z ) при m , n 0 , | 1, |2,... и , является Э. ф. Для построения Э. ф., а также численных расчётов применяют сигма-функции и тэта-функции .

Изучению Э. ф. предшествовало накопление знаний об эллиптических интегралах, систематическое изложение теории которых дал А. Лежандр . Основоположниками теории Э. ф. являются Н. Абель (1827) и К. Якоби (1829). Последний дал развёрнутое изложение теории Э. ф., названное его именем. В 1847 Ж. Лиувилль опубликовал изложение основ общей теории Э. ф., рассматриваемых как мероморфные двоякопериодические функции. Представление Э. ф. через Ã-функцию, а также z-, s-функции дано К. Вейерштрассом в 40-х гг. 19 в. (две последние не являются Э. ф.).

Лит.: Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; Уиттекер Э, Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, пер. с англ., М., 1967.

Большая советская энциклопедия, БСЭ. 2012