Значение УЛЬТРАЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона

Квадратуры вида: b68_716-1.jpg , где ? есть целый полином степени выше четвертой относительно x, a F — какая-либо рациональная функция от x и ?x называются У. или гиперэллиптическими интегралами.Теорией У. интегралов занимались Абель, Якоби, Гёпель, Розенгайн, Эрмит, Вейерштрассе, Прим, Нейман, Клебш и Гордан, Г. Вебер, Томэ, Брио, Кенигсбергер и др.; у нас, в России, К. А. Поссе, П. М. Покровский, М. А. Тихомандрицкий и др.Если ? есть полином 5-й-или 6-й степени, то интегралы называются У. первого класса. С помощью подстановки:x = (a + by)/(c + fy)всегда возможно интеграл с полиномом ? шестой степени относительно x привести к интегралу с полиномом Y пятой степени относительно у.Те У. интегралы первого класса, которые могут быть приведены к виду: b68_716-2.jpg где R = x(1 — x)(1 — ?²x)(1 — ?²x)(1 — ?²x), а величины a, ?, ?, ?, ?, ? — постоянные, называются ультраэллиптическими интегралами первого класса и первого рода. Они конечны для всех значений переменной х.Если интеграл 1-го класса приводится к виду b68_716-3.jpg то он называется ультраэллиптическим интегралом второго рода. Он обращается в бесконечность алгебраически при х = ?. Интеграл, приводящийся к виду: b68_716-4.jpg называется ультраэллиптическим интегралом третьего рода; он обращается в бесконечность логарифмически при x=a.Начало теории ультраэллиптических интегралов было положено в 30-х годах прошлого XIX стол. знаменитою теоремою Абеля о сложении интегралов алгебраических функций. Из этой теоремы между прочим следует, что если имеем систему уравнений b68_716-5.jpg то х₁ и x₂, как функции от u₁ и и₂ суть корни квадратного уравнения:Nx² + mx + L = 0,в котором N, М и L суть однозначные функции от и₁ и и₂.Якоби показал, что L, M и N суть однозначные функции с четырьмя системами периодов, т. е. что они остаются без изменения, если одновременно заменим и₁ и и₂ черези_{1 +} n₁A₁ + n₂B₁ + n₃C₁ + n₄D₁и_{2 +} n₁A₂ + n₂B₂ + n₃C₂ + n₄D₂где п₁, п₂, п₃, п₄ суть какие-либо целые числа, a A₁, В₁,С₁, D₁ и А₂, В₂, С₂, D₂ периоды двух интегралов в равенствах (2).Требовалось определить те функции от и₁ и и₂, которые выражали бы х₁ и x₂ и соответствующие им значения ?R(x₁) и ?R(x₂), удовлетворяющие уравнениям (2).Эта задача была решена почти одновременно Гёпелем и Розенгайном, которые показали, что для решения ее надо ввести особые функции от двух переменных, названный функциями ? (тета) от двух аргументов; начало теории таких функций положил Риман.Функция ? от двух аргументов и₁ и и₂ выражается двойным бесконечным рядом. b68_716-6.jpg где:z = 2(n₁ + g₁/2)(u₁ +\[h₁/2\]?i) + 2(n₂ + g₂/2)(u₂ + \[h₂/2\]?i)Ф = (n₁ + g₁/2)²?₁₁ + 2(n₁ + g₁/2)(n₂ + g₂/2)?₁₂ + (n₂ + g₂/2)²?₂₂и где, в сумме, целые числа п₁ имеют всевозможные величины от —? до +? и целые числа п₂ имеют всевозможные величины от —? до +?. Величины g₁, g₂, h₁, h₃, ?₁₁, ?₁₂, ?₂₂ суть постоянные.Совокупность постоянных g₁, g₂, h₁, h₂ называется характеристикою функций ?. При исследовании свойств этих функций оказывается, что существует только 16 различных функций ?, а именно соответствующих характеристикам: b68_716-7.jpg и т. д., при которых g₁, g₂, h₁, h₂ суть либо нули, либо единицы.Функция ? с характеристикой b68_716-8.jpg обозначается просто через ?(u₁u₂).По изучении свойств этих функций ? оказалось, что х₁ и x₂, а также ?R(x₁) и ?R(x₂) выражаются рационально в функциях ? от двух аргументов и₁ и u₂.Для знакомства с теориею ультраэллиптических интегралов и функций ? от двух аргументов нужно обратиться к статьям и сочинениям вышеупомянутых ученых.Д. Б.