? Квадратуры вида:
, где ? есть целый полином степени выше четвертой относительно x , a F ? какая-либо рациональная функция от x и v x называются У. или гиперэллиптическими интегралами.
Теорией У. интегралов занимались Абель, Якоби, Гёпель, Розенгайн, Эрмит, Вейерштрассе, Прим, Нейман, Клебш и Гордан, Г. Вебер, Томэ, Брио, Кенигсбергер и др.; у нас, в России, К. А. Поссе, П. М. Покровский, М. А. Тихомандрицкий и др.
Если ? есть полином 5-й-или 6-й степени, то интегралы называются У. первого класса. С помощью подстановки:
x = ( a + by )/( c + fy )
всегда возможно интеграл с полиномом ? шестой степени относительно x привести к интегралу с полиномом Y пятой степени относительно у.
Те У. интегралы первого класса, которые могут быть приведены к виду:
где R = x (1 ? x )(1 ? ? 2 x )(1 ? ? 2 x )(1 ? ? 2 x ), а величины a , ?, ?, ? , ?, ? ? постоянные, называются ультраэллиптическими интегралами первого класса и первого рода. Они конечны для всех значений переменной х.
Если интеграл 1-го класса приводится к виду
то он называется ультраэллиптическим интегралом второго рода. Он обращается в бесконечность алгебраически при х = ?. Интеграл, приводящийся к виду:
называется ультраэллиптическим интегралом третьего рода ; он обращается в бесконечность логарифмически при x=a.
Начало теории ультраэллиптических интегралов было положено в 30-х годах прошлого XIX стол. знаменитою теоремою Абеля о сложении интегралов алгебраических функций. Из этой теоремы между прочим следует, что если имеем систему уравнений
то х 1 и x 2 , как функции от u 1 и и 2 суть корни квадратного уравнения:
Nx 2 + mx + L = 0,
в котором N , М и L суть однозначные функции от и 1 и и 2 .
Якоби показал, что L , M и N суть однозначные функции с четырьмя системами периодов, т. е. что они остаются без изменения, если одновременно заменим и 1 и и 2 через
и 1 + n 1 A 1 + n 2 B 1 + n 3 C 1 + n 4 D 1
и 2 + n 1 A 2 + n 2 B 2 + n 3 C 2 + n 4 D 2
где п 1 , п 2 , п 3 , п 4 суть какие-либо целые числа, a A 1 , В 1 , С 1 , D 1 и А 2 , В 2 , С 2 , D 2 периоды двух интегралов в равенствах (2).
Требовалось определить те функции от и 1 и и 2 , которые выражали бы х 1 и x 2 и соответствующие им значения vR ( x 1 ) и vR ( x 2 ), удовлетворяющие уравнениям (2).
Эта задача была решена почти одновременно Гёпелем и Розенгайном, которые показали, что для решения ее надо ввести особые функции от двух переменных, названный функциями ? ( тета ) от двух аргументов; начало теории таких функций положил Риман.
Функция ? от двух аргументов и 1 и и 2 выражается двойным бесконечным рядом.
где:
z = 2( n 1 + g 1 /2)( u 1 + [ h 1 /2] ? i ) + 2( n 2 + g 2 /2)( u 2 + [ h 2 /2] ? i )
Ф = ( n 1 + g 1 /2) 2 ? 11 + 2( n 1 + g 1 /2)( n 2 + g 2 /2) ? 12 + ( n 2 + g 2 /2) 2 ? 22
и где, в сумме, целые числа п 1 имеют всевозможные величины от ?? до +? и целые числа п 2 имеют всевозможные величины от ?? до +?. Величины g 1 , g 2 , h 1 , h 3 , ? 11 , ? 12 , ? 22 суть постоянные.
Совокупность постоянных g 1 , g 2 , h 1 , h 2 называется характеристикою функций ?. При исследовании свойств этих функций оказывается, что существует только 16 различных функций ?, а именно соответствующих характеристикам:
и т. д., при которых g 1 , g 2 , h 1 , h 2 суть либо нули, либо единицы.
Функция ? с характеристикой
обозначается просто через ? ( u 1 u 2 ) .
По изучении свойств этих функций ? оказалось, что х 1 и x 2 , а также vR ( x 1 ) и vR ( x 2 ) выражаются рационально в функциях ? от двух аргументов и 1 и u 2 .
Для знакомства с теориею ультраэллиптических интегралов и функций ? от двух аргументов нужно обратиться к статьям и сочинениям вышеупомянутых ученых.
Д. Б.