геометрия, многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка сравнительно с размерами области). Р. г. получила своё название по имени Б. Римана , который заложил её основы в 1854.
Понятие о римановой геометрии. Гладкая поверхность в евклидовом пространстве, рассматриваемая с точки зрения измерений, производимых на ней, оказывается двумерным пространством, геометрия которого (так называемая внутренняя геометрия ) , будучи приближённо евклидовой в малом (в окрестности любой точки она совпадает с точностью до малых высшего порядка с геометрией касательной плоскости), точно не является евклидовой; к тому же, как правило, поверхность неоднородна по своим геометрическим свойствам. Поэтому внутренняя геометрия поверхности и есть не что иное, как Р. г. двух измерений, а сама поверхность есть двумерное риманово пространство.
Так, при измерениях на участках земной поверхности, малых в сравнении с размерами земного шара, можно с успехом применять обычную планиметрию, однако результаты измерений на больших участках обнаруживают существенное отклонение от законов планиметрии. Перенесение этих понятий на многомерные пространства приводит к общей Р. г. В основе Р. г. лежат три идеи. Первая идея - признание того, что вообще возможна геометрия, отличная от евклидовой, - была впервые развита Н. И. Лобачевским , вторая - это идущее от К. Ф. Гаусса понятие внутренней геометрии поверхностей и её аналитический аппарат в виде квадратичной формы, определяющей линейный элемент поверхности; третья идея - понятие об n -мерном пространстве, выдвинутое и разработанное в 1-й половине 19 в. рядом геометров. Риман, соединив и обобщив эти идеи (в лекции 'О гипотезах, лежащих в основании геометрии', прочитанной в 1854 и опубликованной в 1867), ввёл общее понятие о пространстве как непрерывной совокупности любого рода однотипных объектов, которые служат точками этого пространства (см. Геометрия , раздел Обобщение предмета геометрии, Пространство в математике), и перенёс на эти пространства представления об измерении длин малыми шагами.
После опубликования работ Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, которые развивали дальше аналитический аппарат Р. г. и устанавливали в ней новые теоремы геометрического содержания. Важным шагом было создание итальянскими геометрами Г. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита на рубеже 20 в. так называемого тензорного исчисления , которое оказалось наиболее подходящим аналитическим аппаратом для разработки Р. г. Решающее значение имело применение Р. г. в создании А. Эйнштейном общей теории относительности, которое было триумфом не только абстрактной геометрии, но и идей о связи геометрии и физики, выдвинутых Лобачевским и Риманом. Это привело к бурному развитию Р. г. и её разнообразных обобщений. В настоящее время Р. г. вместе с её обобщениями представляет собой обширную область геометрии, которая продолжает успешно развиваться, причём особое внимание уделяется вопросам глобального характера.
Определение риманова пространства. К строгому определению риманова пространства можно подойти следующим образом. Положение точки n -мерного многообразия определяется n координатами x1, x2,..., xn . В евклидовом n -мерном пространстве расстояние между любыми двумя точками X , Y в надлежаще выбранных координатах выражается формулой
где D xi - разности координат точек X, Y. Соответственно в римановом пространстве в окрестности каждой точки А могут быть введены координаты x1,..., xn так, что расстояние между точками X, Y , близкими к А, выражаются формулой
где e таково, что , когда X, Y приближаются к А. Отсюда следует, что в произвольных координатах расстояние между близкими точками ( xi ) и ( xi + dxi ) , или, что то же самое, дифференциал длины дуги кривой, задаётся выражением
(здесь коэффициенты суть функции координат), которое называется линейным элементом риманова пространства. Т. о., риманово пространство R можно аналитически определить как n -мерное многообразие, в котором в каждой точке задана дифференциальная квадратичная форма
(она называется также метрической формой, или просто метрикой, R и является по своему определению положительно определённой). Возможность преобразования координат обусловливает то, что одно и то же риманово пространство в разных координатах имеет разные выражения метрической формы, однако её величина (вследствие своего геометрического смысла как квадрата элемента длины дуги) при преобразовании координат от xi к должна оставаться неизменной:
Это приводит к определённому закону преобразования коэффициентов gij как компонент дважды ковариантного тензора (см. Тензорное исчисление ) ; он называется метрическим тензором риманова пространства.
Каждой точке А риманова пространства R сопоставляется так называемое касательное евклидово пространство EA, в которое отображается некоторая окрестность U точки А так, что относительное искажение расстояний стремится к нулю при приближении к точке А. Аналитически это сводится к введению вблизи некоторой точки A0 пространства EA таких координат, что в них квадрат линейного элемента евклидова пространства EA выражается в точке A0 такой же формой , какой выражается квадрат линейного элемента риманова пространства ds2 в точке А. Т. о., в пренебрежении малыми выше первого порядка окрестность точки в римановом пространстве можно заменять окрестностью точки касательного пространства.
Простейшие понятия римановой геометрии. 1) Длина дуги s кривой ( i 1, -, n , ) в римановом пространстве R определяется как интеграл
вдоль этой кривой (что соответствует как бы измерению длин 'малым масштабом', как отметил ещё Риман). Если любые две точки пространства R соединимы кривой, то R становится метрическим пространством : расстояние r( Х, Y ) между двумя точками определяется как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки, и называется внутренней метрикой риманова пространства R.
2) Угол между двумя исходящими из одной точки А кривыми определяется как угол между касательными векторами к кривым в точке А.
3) Объём V n -мерной области G риманова пространства определяется по формуле:
где .
Геодезические. Линии, которые в достаточно малых областях являются кратчайшими из всех кривых с теми же концами, называются геодезическими, они играют роль прямых в римановом пространстве R. По определению, они являются экстремалями функционала
(см. Вариационное исчисление ) и удовлетворяют уравнениям:
,
где Г ijk - так называемые Кристоффеля символы , выражающиеся через компоненты метрического тензора gij и их первые производные. Через каждую точку риманова пространства в любом направлении проходит геодезическая; любые две точки А, В достаточно малой области можно соединить кратчайшей [длина её будет равна внутреннему расстоянию r( А, В ) между этими точками], и притом единственной, однако единственность может нарушаться, если точки достаточно удалены друг от друга (например, полюсы сферы соединимы бесконечным множеством дуг больших кругов, являющихся кратчайшими).
Представляет интерес (для описания периодических движений в механической задаче многих тел, например) оценка числа n замкнутых геодезических пространства R ; эта задача (поставленная Ж. А. Пуанкаре в 1905 в связи с некоторыми вопросами небесной механики), несмотря на усилия многих математиков, ещё далека от завершения, наилучший результат: n ³ 2, если R односвязно.
Соприкасающееся пространство. Между римановым пространством R и касательным к нему евклидовым пространством в окрестности U некоторой точки А можно установить такое соответствие, при котором оба пространства будут совпадать с точностью до малых выше второго порядка. Для этого проводят из точки А геодезические во всех направлениях и каждой из них в касательном пространстве сопоставляют луч соответствующего направления, а затем устанавливают такое соответствие этих лучей и геодезических, при котором длины дуг геодезических b соответствующих им лучей равны. В достаточно малой окрестности такое соответствие будет взаимно однозначным; если ввести в касательном пространстве декартовы координаты x1,..., xn и приписать их значения соответствующим точкам окрестности U, то между линейными элементами ds риманова и dso евклидова пространств будет такая связь:
+, где при
i 1, -, n .
откуда следует, что разность ds - dso имеет порядок не ниже, чем
.
Евклидово пространство, поставленное в такое соответствие с римановым, и называется соприкасающимся (в отличие от обычного касательного пространства). Добиться более высокого порядка совпадения за счёт специального выбора соответствия между римановым и евклидовым пространствами в общем случае уже невозможно. Поэтому коэффициенты Rmlki характеризуют отличие риманова пространства от евклидова; они являются компонентами так называемого тензора кривизны (или тензора Римана - Кристоффеля), определяемого по формуле
лишь через gik, и их производные до второго порядка.
Тождественное обращение в нуль тензора кривизны необходимо и достаточно для того, чтобы пространство в окрестности каждой точки совпадало с евклидовым (в целом оно может отличаться от него своим строением, подобно тому как боковая поверхность цилиндра отличается от плоскости).
Параллельное перенесение. Для всякой гладкой кривой L риманова пространства существует отображение её окрестности UL в евклидово пространство EL при котором оно оказывается соприкасающимся во всех точках кривой L. Образ кривой L в пространстве EL называется развёрткой L' этой кривой на евклидово пространство (для поверхности F в евклидовом пространстве соприкасающееся евклидово пространство вдоль кривой L можно интерпретировать как развёрнутую на плоскость огибающую семейства плоскостей, касательных к F вдоль L ) . Вектор (и любой тензор) параллельно переносится вдоль кривой L, если параллельно переносится соответствующий вектор (тензор) в евклидовом пространстве EL, соприкасающемся с римановым вдоль этой кривой. Аналитически параллельное перенесение вектора a i вдоль кривой xi xi ( t ) определяется дифференциальным уравнением
.
Если , то получается уравнение геодезических; т. о., геодезические можно определить как кривые, вдоль которых касательный к ним вектор переносится параллельно, т. е. развёртка геодезической - прямая, что углубляет их сходство с прямыми. Результат параллельного перенесения вектора из точки А в точку В зависит, как правило, от кривой AB, вдоль которой происходит перенесение, - в этом отсутствии 'абсолютного параллелизма' наглядно проявляется отличие риманова пространства от евклидова.
Геодезическая кривизна (первая кривизна) кривой L в точке М оценивает её отклонение от геодезической L0, касающейся L в точке М, и определяется следующим образом. Пусть касательный вектор к L в точке М параллельно перенесён в точку M' и образует там угол j с касательной к L в точке М, пусть s - длина дуги MM' кривой L. При стремлении M' к М существует предел
,
который и называется геодезической кривизной кривой L в точке М. Аналитически геодезическая кривизна кривой xI xi ( s ), параметризованной длиной дуги, определяется формулами:
,
где
;
таким образом, геодезическая кривизна кривой L совпадает с (первой) кривизной её развёртки L, а геодезические линии во всех точках имеют нулевую геодезическую кривизну.
Для кривой L в римановом пространстве R определяются также вторая и т.д. кривизны и имеют место соотношения, аналогичные обычным формулам Френе (см. Дифференциальная геометрия) для кривых евклидова пространства.
Риманова кривизна. Пусть М - точка риманова пространства, F - двумерная поверхность xi xi ( u, u) , проходящая через М, L - простой замкнутый контур на F, проходящий через М, s - площадь участка поверхности, ограниченного контуром L. Пусть произвольный вектор ai, касательный к поверхности F (т. е. линейно выражающийся через векторы ) , перенесен параллельно по L.
Тогда составляющая перенесённого вектора, касательная к F, окажется повёрнутой по отношению к ai на угол j (положительное направление отсчёта углов должно совпадать с направлением обхода L ). При стягивании L в точку М существует предел
,
называется кривизной риманова пространства (римановой кривизной) в данной точке в направлении двумерной поверхности; К зависит не от поверхности, а лишь от её направления в точке М, т. е. от направления двумерной плоскости касательного евклидова пространства, содержащей векторы .
Риманова кривизна К связана с тензором кривизны формулой:
,
где
,
причём параметры u, u выбраны так, что площадь параллелограмма, построенного на векторах , равна 1 .
В двумерном случае К совпадает с полной кривизной (Theorema egregium К. Ф. Гаусса, 1827), при этом для области G , ограниченной простой замкнутой кривой Г, имеющей геодезическую кривизну k, справедлива так называемая формула Гаусса-Бонне:
,
в частности, для треугольника, образованного отрезками геодезических
,
где А, В, С - величины углов треугольника. Для замкнутого (т. е. без границы) двумерного риманова пространства R его эйлерова характеристикаc( R ) пропорциональна интегралу римановой кривизны:
.
Эта формула обобщена на случай чётно-мерного замкнутого риманова пространства, в котором интегрируется некоторая функция компонент тензора кривизны.
Если в каждой точке риманова пространства кривизна не зависит от направления двумерной поверхности, то она не меняется и от точки к точке, т. е. пространство имеет постоянную кривизну. Представляют интерес также (в частности, для описания механических систем с циклическими координатами) римановы пространства со специальной структурой тензора кривизны; они суть обобщение пространств постоянной кривизны и имеют достаточно обширную группу движений. Таковы, например, симметрические пространства, характеризующиеся тем, что их тензор кривизны не меняется при параллельном перенесении, субпроективные пространства, характеризующиеся специальной координатной системой, в которой геодезические описываются линейными уравнениями, и др.
Риманова кривизна играет важную роль в геометрических приложениях Р. г., тем более, что на всяком многообразии можно ввести некоторую риманову метрику. Так, например, топологическое строение полных римановых пространств (т. е. пространств, в которых всякая геодезическая бесконечно продолжаема) зависит от свойств его кривизны: всякое полное односвязное n -мерное риманово пространство гомеоморфно n -мерному евклидову пространству, если его кривизна во всех точках и по всем направлениям неположительна и гомеоморфна n -мерной сфере единичного радиуса, если его кривизна К удовлетворяет неравенствам , где d - некоторая постоянная. От величины кривизны полного риманова пространства R зависит и его диаметр d - точная верхняя грань расстояний между точками R, определяемых внутренней метрикой R: например, если К ³ K o > 0 , то d, если же , то R - сфера радиуса .
Метрическая связность. Параллельное перенесение вдоль кривой L с концами А, В задаёт изометричное (т. е. сохраняющее расстояния) преобразование ti касательного пространства E A в точке А в касательное пространство E B в точке А. Дифференциал преобразования ti в точке А, т . е. главная линейная часть изменения ti; при переходе из А ( xi )в близкую точку ( xi + dxi ) , определяет некоторый геометрический объект, называется римановой связностью, ассоциированной с данным параллельным перенесением. Аналитически эта связность выражается системой линейных дифференциальных форм
, i , j , -, n .
Однако в римановом пространстве R можно определить и другие связности, такие, что ассоциированные с ними параллельные перенесения также сохраняют метрический тензор; они называются метрическими связностями и определяются аналогичными коэффициентами , но уже не симметричными по индексам j, k и не выражающимися (подобно символам Кристоффеля) только через тензор gij и его производные. Отличие метрической связности от римановой оценивается так называемым тензором кручения:
,
геометрический смысл которого иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим в двумерном римановом пространстве метрической связности малый треугольник, образованный отрезками геодезических длины а, b, с и углами А, В, С. Тогда главная часть проекции кручения в точке А на сторону AB равна отношению величины с - acosB - bcosA к площади треугольника, а главная часть проекции кручения на перпендикуляр к AB - величине asinB - bsinA, деленной на площадь треугольника. Т. о., в римановом пространстве нулевого кручения имеют место теоремы косинусов и синусов обыкновенной тригонометрии с точностью до величин, малых в сравнении с площадью треугольника.
Кривые, касательный вектор к которым переносится вдоль них параллельно, называются геодезическими соответствующей связности; они совпадают с римановыми геодезическими, если тензор
кососимметричен по всем индексам.
Подпространства. На m -мерном подмногообразии М риманова пространства R, задаваемом уравнениями xi xi ( u1,..., um ) , причём ранг матрицы равен m, имеет место Р. г., определяемая метрическим тензором
М называется римановым подпространством пространства R.
Достаточно малая область m -мерного риманова пространства R может быть погружена в евклидово пространство достаточно большой размерности N (т. е. допускает сохраняющее длины отображение на подмногообразие этого пространства). Известно, что ; вопрос о минимальном значении N в общем случае ещё не решен, однако если коэффициенты метрической формы gij пространства R являются аналитическими функциями (т. е. разлагаются в сходящиеся степенные ряды), то . Относительно задачи погружения в целом (представляющей интерес для физики калибровочных полей) известно ещё меньше.
Наиболее подробно исследованы погружения двумерных римановых пространств. Так, например: 1) двумерное полное риманово пространство положительной кривизны К. погружается в виде замкнутой выпуклой поверхности (овалоида) в трёхмерное риманово пространство кривизны не меньшей К [проблема Г. Вейля (1916), решенная немецким математиком Х. Леви (1937) и А. Д. Александровым (1941) для погружения в евклидово пространство и А. В. Погореловым (1957) для риманова пространства], причём любые два погружения, имеющие общую точку и общее соприкасающееся пространство в ней, совпадают [т. е. овалоид однозначно определён своей метрикой, немецкий математик С. Э. Кон-Фоссен (1927), А. В. Погорелов (1948)]. 2) Двумерное полное риманово пространство отрицательной кривизны K £ Ko < 0 не допускает погружения в виде регулярной поверхности [советский математик Н. В. Ефимов (1963), частный случай плоскости Лобачевского ( К - 1) разобран Д. Гильбертом (1901)]. 3) Двумерное риманово пространство, гомеоморфное тору, допускает погружение в четырёхмерное евклидово пространство [советский математик Э. Г. Позняк (1973)].
Приложения и обобщения римановой геометрии. 1) Поскольку Р. г. определяется заданием дважды ковариантного симметричного тензора, постольку всякую физическую задачу, сводящуюся к изучению такого тензорного поля, можно формулировать как задачу Р. г. В частности, к тензорным полям такого типа относятся различные физические величины, характеризующие упругие, оптические, термодинамические, диэлектрические, пьезомагнитные и другие свойства анизотропных тел. При этом симметрия коэффициентов gij является отражением одного из фундаментальных физических законов - закона взаимности. Так, задача о теплопроводности анизотропного тела, решенная ещё Риманом (1861), явилась первым приложением Р. г.
2) Рассмотрение конфигурационного пространства в механике системы с n степенями свободы позволило представить в ясной геометрической форме ряд механических задач. Так, например, траектории свободного (т. е. в отсутствии обобщённых сил) движения голономной механической системы с кинетической энергией
где - обобщённые скорости, являются геодезическими соответствующего n -мерного риманова пространства с метрическим тензором gij. О некоторых других фактах упоминалось выше. Аналогичную интерпретацию получает и движение в поле сил, имеющих потенциал (см. Герца принцип ) .
3) В приложениях Р. г. к механике и физике важную роль играют дополнительные структуры, согласующиеся в том или ином смысле с метрикой риманова пространства. Так, например:
а) Физическим представлениям об упругой сплошной среде с непрерывным распределением источников внутренних напряжений соответствует риманово пространство с некоторой метрической связностью: параллельное перенесение, соответствующее ей, определяет так называемое естественное состояние среды вдоль кривой, а кручение отождествляется с плотностью дислокации ;
б) римановы пространства с почти комплексной структурой (определяется полем один раз ковариантного и один раз контравариантного тензора такого, что
где - Кронекера символ ) используются квантовой механикой для описания наблюдаемых и состояний систем многих частиц;
в) привлечение понятия так называемой конформной связности, т. е. связности риманова пространства, при которой результат параллельного перенесения метрического тензора gij пропорционален ему самому, позволило смоделировать некоторые из так называемых Бора постулатов , в частности избранные (или 'разрешенные') орбиты движения электронов в атоме - кривые, вдоль которых метрический тензор сохраняется.
4) Развитие Р. г. в связи с общей теорией относительности (см. Тяготение )и механикой сплошных сред породило различные обобщения её предмета, главнейшими из которых являются так называемые псевдоримановы пространства. Таково, например, согласно теории тяготения, многообразие событий (многообразие пространства - времени) - четырёхмерное пространство с заданной на нём знаконеопределённой невырожденной квадратичной формой
(коэффициенты такой 'метрики', допускающей мнимые расстояния, как раз и характеризуют поле тяготения, играя роль потенциальных функций). Эта форма в каждой точке пространства событий может быть приведена к виду
d s2 dx 2+ dy 2+ dz 2 - dt 2
где х, у, z - пространственные координаты, t - время. Физически такие, так называемые локально галилеевы, системы отсчёта являются свободно падающими в поле тяготения. Однако ввести такую систему на всём многообразии невозможно (поскольку наличие поля тяготения математически выражается в кривизне псевдориманова пространства).
Другой путь обобщения Р. г. связан с рассмотрением более общих законов определения расстояний, задаваемых в виде линейного элемента ds (см. Финслерова геометрия ) , и более общих законов параллельного перенесения , а также с отказом от требований регулярности.
Лит.: Риман Б., Соч., пер. с нем., М. - Л., 1948; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; Схоутен Я. А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971.
А. Д. Александров, Ю. Ф. Борисов.