? Функция от n переменных х 1 , x 2 ,..., х n наз. симметрическою , если она не меняется при всевозможных перестановках этих переменных. Например: x 1 2 x 2 + x 1 2 x 3 + х 2 2 x 1 + x 2 2 x 3 + x 3 2 x 1 + x 3 2 x 2 есть С. функция, так как она не меняется при всех перестановках букв х 1 , x 2 и x 3 . Эта функция вполне определяется одним членом х 1 2 x 2 и потому для краткости обозначается через ? x 1 2 x 2 . Подобным же образом С. функции от x 1 , x 2 , x 3 и х 4
? x 1 2 x 2 2 = x 1 2 x 2 2 + x 1 2 x 3 2 + x 1 2 x 4 2 + x 2 2 x 3 2 + x 2 2 x 4 2 + x 3 2 x 4 2 .
С. функции называются элементарными , если каждая из переменных входит только в первой степени. В случае n переменных все элементарные С. функции суть
? x 1 = с 1 , ? x 1 x 2 = c 2 , ? x 1 x 2 x 3 = c 3 ,... , х 1 x 2 ... x n = с n .
Здесь введены буквы c 1 , c 2 ,..., с n для обозначения этих функций.
Если x 1 , x 2 ,..., x n корни уравнения f ( x ) = x n + p 1 x n? 1 + p 2 x n? 2 +... + p n? 1 x + P n = 0, то
c 1 = ?p 1 , c 2 = p 2 , c 3 = ?p 3 , ... , c n = ( ? 1) n p n .
Всякая целая С. функция от x 1 , x 2 ,..., х n есть целая функция от с 1 , c 2 , ... , с n .
Вычислить С. функцию значит выразить ее через элементарные С. функции. Для вычисления С. функции. S m = ? x 1 m служат следующие формулы Ньютона
s 1 ? с 1 = 0
s 2 ? c 1 s 1 + 2 с 2 = 0
s 3 ? c 1 s 2 + c 2 s 1 ? 3 c 3 = 0
s n ? с 1 s n? 1 + c 2 s n? 2 ?... + ( ? 1) n nc n = 0
s n+k ? c 1 s n+k? 1 + c 2 s n+k? 2 ?..... + ( ? 1) n c n s k = 0 .
Для вычисления С. функции более сложного вида могут служить формулы
? x 1 ? x 2 ? = 1/2[( s ? ) 2 ? s 2 ? ]
? x 1 ? x 2 ? = s ? s ? ? s ? + ? , ? не = ?
? x 1 ? x 2 ? x 3 ? = 1/6[ s ? 3 ? 3 s 2 ? s ? + 2 s 3 ? ]
? x 1 ? x 2 ? x 3 ? = 1/2( s ? 2 s ? ? s 2 ? s ? ? 2 s ? + ? s ? + 2 s 2 ? + ?
? x 1 ? x 2 ? x 3 ? = s ? s ? s ? ? s ? + ? s ? ? s ? + ? s ? ? s ? + ? s ? + 2 s ? + ? + ? .
Здесь числа ?, ? и ? различны между собой. В курсах высшей алгебры Serret, Salmon, Weber и др. можно найти различные приемы для вычисления С. функций. При помощи С. функций решаются различные вопросы: рациональные функции от корня уравнения приводятся к целому виду; составляется уравнение, которому удовлетворяет данная функция от корней; исключаются переменные из системы уравнений и т. д.
Д. С.