функции, весьма важный с точки зрения приложений в физике и технике класс трансцендентных функций , являющихся решениями дифференциального уравнения:
(1)
где n - произвольный параметр. К этому уравнению сводятся многие вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и колебаний тел цилиндрической формы. Решение, имеющее вид:
[где Г ( z ) - гамма-функция ; ряд справа сходится при всех значениях х ] , называется Ц. ф. первого рода порядка n. В частности, Ц. ф. нулевого порядка имеет вид:
Если n - целое отрицательное: n - n, то J n( x ) определяется так:
J-n ( x ) (- 1) n Jn ( x ) .
Ц. ф. порядка n m + 1/2, где m - целое число, сводится к элементарным функциям, например:
,
Функции J n( x ) и уравнение (1) называют также по имени Ф. Бесселя ( Бесселя функции , Бесселя уравнение ) . Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлером при изучении колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Бесселя; функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли , посвященной колебанию тяжёлой цепи (опубликована в 1738), а функция порядка 1/3 в письме Я. Бернулли к Г. Лейбницу (1703) .
Если n не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид
y C1J n( x ) + C2J- n( x ) , (2)
где C1 и C2 - постоянные. Если же n - целое, то J n( x ) и J- n(x) линейно зависимы, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. первого рода, вводят ещё Ц. ф. второго рода (называемые также функциями Вебера):
При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде
у C1Jn(x) + C2Y n( x )
(как при целом, так и при нецелом n).
В приложениях встречается также Ц. ф. мнимого аргумента
и
(функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению
общее решение которого имеет вид
y C1l n( x ) + C2K n( x )
(как при целом, так и нецелом n). Часто употребляются ещё Ц. ф. третьего рода (или функции Ганкеля)
,
а также функции Томсона ber ( х ) и bei ( x ), определяемые соотношением
ber ( x ) + i bei ( x ) I0 ( x ).
Важную роль играют асимптотические выражения Ц. ф. для больших значений аргумента:
,
,
,
,
из которых, в частности, вытекает, что Ц. ф. Jn ( x ) и Yn ( x ) имеют бесконечное множество действительных нулей, расположенных так, что вдали от начала координат они как угодно близки к нулям функций, соответственно,
и
Ц. ф. изучены очень детально и для комплексных значений аргументов. Для вычислений существует большое число таблиц Ц. ф.
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1-2, М., 1949; Бейтмен Г., Эрдей А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974.