или цилиндрические функции, или цилиндрические гармоники ? выражения, введенные в анализ и в особенности в небесную механику немецким астрономом Бесселем и потому носящие его имя. Во Франции еще раньше Бесселя подобные функции рассматривал Фурье в теории теплоты, и потому их называют также иногда еще функциями Фурье-Бесселя. Б. ф. можно ввести в рассмотрение весьма различным образом, смотря по той цели, к которой они применяются. Можно исходить из некоторых разложений в ряд тригонометрический, или по степеням независимой переменной, или из дифференциального уравнения второго порядка, которому удовлетворяют эти функции. Обозначая функции 0-го, 1-го, 2-го... порядка, как это общепринято, буквами J 0 (x), J 1 (x), J 2 (x)... имеем, например:
cos(xsin ?) = J 0 (x) + 2J 2 (x)cos2 ? + 2J 4 (x)cos4 ? + -
sin(xsin ?) = 2J 1 (x)sin ? + 2J 3 (x)sin3 ? + -
или e ?x(z?1/z) = J 0 (x)+J 2 (x)[z 2 +(1/z 2 )]+J 0 (x)[z 4 +(1/z 4 )]+J 1 (x)(z ? 1/z)+J 3 (x)(z 3 ? 1/z 3 )+-,
а дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют Б. функции n-го порядка, есть
d 2 J n (x)/dx 2 + (1/x)(dJ n (x)/dx + [1 ? n 2 /x 2 ]J n (x) = 0
Между тремя последовательными Б-ми функциями существует простое соотношение:
xJ n + 1(x) ? 2nJ n (x) + xJ n ? 1(x) = 0
из которого явствует, что достаточно знать значения двух каких-нибудь из Б.-вых функций, напр. J 0 и J 1 , чтобы можно было найти все остальные посредством простых арифметических операций. Отсюда же легко получить следующую непрерывную дробь, позволяющую вычислять с произвольной степенью точности значения какой угодно Б-вой функции:
P = (?n)/x ? [1/(2n+2)]/x ? [1/(2n+4)]/x ? -
Для этого стоит только положить J n = p n J n ? 1, откуда будет вообще Jn = p 1 p 2 ... pn J 0 , а это непосредственно приводит к написанной непрерывной дроби. Б.-вы функции могут также быть представлены и притом несколькими способами в виде определенного интеграла, а именно:
Разложенная в ряд Б-ва функция n-го порядка есть:
Определение Б.-вой функции посредством определенного интеграла или ряда может быть распространено и на случай нецелого значения показателя n с условием в последнем случае n + 1 больше 0. Так, напр., из интеграла получается:
Употребление функций Бесселя в анализе, в теории теплоты и в небесной механике основано на том, что многие разложения в ряд могут быть сделаны с удобством посредством именно этих функций. Так, напр., имеем:
cosx = J 0 (x) ? 2J 2 (x) + 2J 4 (x) ? -
sinx = 2J 1 (x) ? 2J 3 (x) + 2J 5 (x) ? -
? = 1/2J 0 (x) + J 2 (x) + J 4 (x) + -
?x = J 1 (x) + 3J 3 (x) + 5J 5 (x) + -
?x 2 = 2 2 J 2 (х) + 4 2 J 4 (х) + -
?x 3 = 3(3 2 ? 1)J 3 (x) + 5(5 2 ? 1)J 5 (x) + -
Такие разложения в ряд играют важную роль в теории возмущений планетных движений. Эти же функции интегрируют в анализе известное дифференциальное уравнение Риккати. Заметим в заключение, что функции Бесселя можно рассмативать как частный случай функций Лежандра, или шаровых функций, или сферических гармоник, т. е. функций, удовлетворяющих уравнению:
(1 ? x 2 )d 2 Pm/dx 2 ? (2x)dPm/dx + m(m + 1)P m = 0
для случая m = ?, а именно вводя новую переменную ? и новую функцию ? положениями
? = mv(1?x 2 )
? = (1 ? x 2 ) ?n (dnPn/dx n )
получим, полагая m бесконечно большим, дифференциальное уравнение, удовлетворяемое Б.-ою функцией n-го порядка, написанное выше.
Литература. Работы самого Бесселя о функциях, носящих его имя, помещены в собрании его сочинений, изд. Энгельмана т. I. Затем специально Б.-м функциям посвящены труды: Неймана (Neumann), "Theorie der Bessel'schen Functionen"; Ломмеля (Lommel), "Studien u ber die Bessel'schen Functionen". Весьма полное исследование этих функций можно найти в трактате Гейне (Heine) "Handbuch der Kugelfunctionen" (2-е изд.) и в более элементарном учебнике Тодгентера (Todhunter), "An elementary Treatise on the functions of Laplace, Lam e and Bessel". Таблицы численных значений Б.-вых функций для практических приложений их находятся в работе Бесселя, в статье Гансена об определении абсолютных возмущений и подробнее других в специальных таблицах Мейсселя (Meissel).