Значение БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона

или цилиндрические функции, или цилиндрические гармоники — выражения, введенные в анализ и в особенности в небесную механику немецким астрономом Бесселем и потому носящие его имя. Во Франции еще раньше Бесселя подобные функции рассматривал Фурье в теории теплоты, и потому их называют также иногда еще функциями Фурье-Бесселя. Б. ф. можно ввести в рассмотрение весьма различным образом, смотря по той цели, к которой они применяются. Можно исходить из некоторых разложений в ряд тригонометрический, или по степеням независимой переменной, или из дифференциального уравнения второго порядка, которому удовлетворяют эти функции. Обозначая функции 0-го, 1-го, 2-го... порядка, как это общепринято, буквами J₀(x), J₁(x), J₂(x)... имеем, например:cos(xsin?) = J₀(x) + 2J₂(x)cos2? + 2J₄(x)cos4? + …sin(xsin ?) = 2J₁(x)sin ? + 2J₃(x)sin3? + …или e^?x(z—1/z) = J₀(x)+J₂(x)\[z²+(1/z²)\]+J₀(x)\[z⁴+(1/z⁴)\]+J₁(x)(z — 1/z)+J₃(x)(z³ — 1/z³)+…,а дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют Б. функции n-го порядка, естьd²J_n(x)/dx² + (1/x)(dJ_n(x)/dx + \[1 — n²/x²\]J_n(x) = 0Между тремя последовательными Б-ми функциями существует простое соотношение:xJ_n + 1(x) — 2nJ_n(x) + xJ_n — 1(x) = 0из которого явствует, что достаточно знать значения двух каких-нибудь из Б.-вых функций, напр. J₀ и J₁, чтобы можно было найти все остальные посредством простых арифметических операций. Отсюда же легко получить следующую непрерывную дробь, позволяющую вычислять с произвольной степенью точности значения какой угодно Б-вой функции:P = (?n)/x — \[1/(2n+2)\]/x — \[1/(2n+4)\]/x — …Для этого стоит только положить J_n = p_nJ_n — 1, откуда будет вообще Jn = p₁ p₂ ... pn J₀, а это непосредственно приводит к написанной непрерывной дроби. Б.-вы функции могут также быть представлены и притом несколькими способами в виде определенного интеграла, а именно: b6_617-1.jpg Разложенная в ряд Б-ва функция n-го порядка есть: b6_617-2.jpg Определение Б.-вой функции посредством определенного интеграла или ряда может быть распространено и на случай нецелого значения показателя n с условием в последнем случае n + 1 больше 0. Так, напр., из интеграла получается: b6_617-3.jpg Употребление функций Бесселя в анализе, в теории теплоты и в небесной механике основано на том, что многие разложения в ряд могут быть сделаны с удобством посредством именно этих функций. Так, напр., имеем:cosx = J₀(x) — 2J₂(x) + 2J₄(x) — …sinx = 2J₁(x) — 2J₃(x) + 2J₅(x) — …? = 1/2J₀(x) + J₂(x) + J₄(x) + …?x = J₁(x) + 3J₃(x) + 5J₅(x) + …?x² = 2²J₂(х) + 4²J₄(х) + …?x³= 3(3² — 1)J₃(x) + 5(5² — 1)J₅(x) + …Такие разложения в ряд играют важную роль в теории возмущений планетных движений. Эти же функции интегрируют в анализе известное дифференциальное уравнение Риккати. Заметим в заключение, что функции Бесселя можно рассмативать как частный случай функций Лежандра, или шаровых функций, или сферических гармоник, т. е. функций, удовлетворяющих уравнению:(1 — x²)d²Pm/dx² — (2x)dPm/dx + m(m + 1)P_m = 0для случая m = ?, а именно вводя новую переменную ? и новую функцию ? положениями? = m?(1—x²)? = (1 — x²)^?n(dnPn/dxⁿ)получим, полагая m бесконечно большим, дифференциальное уравнение, удовлетворяемое Б.-ою функцией n-го порядка, написанное выше.Литература. Работы самого Бесселя о функциях, носящих его имя, помещены в собрании его сочинений, изд. Энгельмана т. I. Затем специально Б.-м функциям посвящены труды: Неймана (Neumann), "Theorie der Bessel'schen Functionen"; Ломмеля (Lommel), "Studien ?ber die Bessel'schen Functionen". Весьма полное исследование этих функций можно найти в трактате Гейне (Heine) "Handbuch der Kugelfunctionen" (2-е изд.) и в более элементарном учебнике Тодгентера (Todhunter), "An elementary Treatise on the functions of Laplace, Lam? and Bessel". Таблицы численных значений Б.-вых функций для практических приложений их находятся в работе Бесселя, в статье Гансена об определении абсолютных возмущений и подробнее других в специальных таблицах Мейсселя (Meissel).