преобразование (данной функции), функция, выражающаяся через данную функцию f ( x ) формулой:
,(1)
Если функция f ( x ) чётная, то её ф. п. равно
(2)
(косинус-преобразование), а если f ( x ) - нечётная функция, то
(3)
(синус-преобразование). Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для чётных функций
,(4)
а для нечётных функций
.(5)
В общем случае имеет место формула
.(6)
Каждой операции над функциями соответствует операция над их Ф. п., которая во многих случаях проще соответствующей операции над f ( x ). Например, Ф. п. f '( x ) является iug ( u ). Если
,(7)
то g ( u ) g1 ( u ) g2 ( u ). Для f ( x + а ) Ф. п. является eiuag ( u ), а для c1f1 ( x ) + c2f2 ( x ) - функция c1g1 ( u ) + c2g2 ( u ).
Если существует , то интегралы в формулах (1) и (6) сходятся в среднем (см. Сходимость ), причём
(8)
(теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство ) для рядов Фурье (см. Фурье ряд ). Физический смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии некоторого колебания сумме энергий его гармонических компонент. Отображение F : f ( x ) - g ( u ) является унитарным оператором в гильбертовом пространстве функций f ( x ), - ¥ < x < ¥, с интегрируемым квадратом. Этот оператор может быть представлен также в виде
.(9)
При некоторых условиях на f ( x ) справедлива формула Пуассона
,
находящая применение в теории тэта-функций .
Если функция f ( x ) достаточно быстро убывает, то её Ф. п. можно определить и при некоторых комплексных значениях u v + iw . Например, если существует , а > 0, то Ф. п. определено при | w | < а. Ф. п. при комплексных значениях тесно связано с двусторонним преобразованием Лапласа (см. Лапласа преобразование )
.
Оператор Ф. п. может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций [например, для функций f ( x ) таких, что (1 + | x |)v1 f ( x ) суммируема, Ф. п. определяется формулой (9)], и даже на некоторые классы обобщённых функций (т. н. медленного роста).
Имеются обобщения Ф. п. Одно из них использует различного рода специальные функции, например Бесселя функции , это направление получает завершение в теории представлений непрерывных групп . Другим является т. н. преобразование Фурье - Стилтьеса, широко применяемое, например, в теории вероятностей; оно определяется для произвольной ограниченной неубывающей функции j( x ) Стилтьеса интегралом
(10)
и называется характеристической функцией распределения j. Для представимости функции g ( u ) в виде (10) необходимо и достаточно, чтобы при любых u 1,..., un , x1,...,x n было
(теорема Бохнера - Хинчина).
Ф. п., первоначально возникшее в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (например, при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории специальных функций и т.д.), так и в различных разделах теоретической физики. Например, Ф. п. стало стандартным аппаратом квантовой теории поля , широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т.д.
Лит.: Снеддон И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.