формулы, формулы, дающие приближённое выражение функции у f ( x ) при помощи интерполяции , т. е. через интерполяционный многочлен Рn ( х ) степени n , значения которого в заданных точках x 0, x 1, ..., хn совпадают со значениями y 0, y 1, ..., уn функции f в этих точках. Многочлен Рn ( х ) определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.
1. Интерполяционная формула Лагранжа:
Ошибка, совершенная при замене функции f ( x ) выражением Pn ( x ), не превышает по абсолютной величине
где М - максимум абсолютной величины ( n + 1)-й производной f n +1( x ) функции f ( x ) на отрезке [ x 0, xn ].
2. Интерполяционная формула Ньютона. Если точки x 0 , x 1, ..., xn расположены на равных расстояниях ( xk x 0 + kh ), многочлен Pn ( x ) можно записать так:
(здесь x0 + th х , а D k - разности k -гопорядка: D k yi D k - 1 yi +1 - D k - 1 yi ). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения у , соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от x 0. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений х , близких к x 0 . При интерполировании функций для значений х , близких к наибольшему узлу хn , употребляется сходная формула Ньютона для интерполирования назад. При интерполировании функций для значений x , близких к xk , формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).
Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям (см. Конечных разностей исчисление ). В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой k -й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).
3. Интерполяционная формула Стирлинга:
(о значении символа m и связи центральных разностей d m с разностями D m см. ст. Конечных разностей исчисление ) применяется при интерполировании функций для значений х , близких к одному из средних узлов а ; в этом случае естественно взять нечётное число узлов х - k , ..., х -1, x 0, x 1, ..., xn , считая а центральным узлом x 0.
4. Интерполяционная формула Бесселя:
применяется при интерполировании функций для значений х , близких середине а между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов х - k , ..., х -1, x 0, x 1,..., xk , xk + 1, и располагать их симметрично относительно a ( x 0 < а < x 1).
Лит. см. при ст. Интерполяция .
В. Н. Битюцков.