(Kugelfunctionen). ? Выражение:
в котором ? меньше единицы, a ? = Cos ? есть косинус некоторого угла ?, может быть разложено в следующий ряд, расположенный по возрастающим степеням а :
1 + аР 1 + а 2 Р 2 + а 3 P 3 +... + a n P n +...,
в котором ? с разными индексами суть следующие функции от ?:
P 1 = ?, P 2 = (1/2)(3 ? 2 ? 1)
P 3 = (1/2)(5 ? 3 ? 3 ?)...
и вообще Р n может быть представлено так:
Р n = (1/2 n n!)( d n / d ? n )(? 2 ? 1) n , где п ! = 1.2.3... n .
Функции эти, введенные Лапласом при рассмотрении вопросов о притяжении, носят название С. функций. Полную теорию этих функций можно найти в книге Heine "Handbuch d. Kugelfunctionen", a в книгах Thomson and Тait ("Treatise on natural philosophy"), Lamb ("Hydrodynamics", 1895) и Cl. Maxwell, "Trait e d'electricite et de magnetisme" (trad. p. Lui Se ligmann) объяснено значение этих функций в теории потенциала, притяжения, электричества, магнетизма и в гидродинамике; там же полная и рациональная теория С. функций.
Д. Б.