Значение ГАРМОНИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ

простые и составные. Представим себе, что по кругу радиуса а (на черт. 1 изображен круг, имеющий центр в О ) движется точка N с постоянной скоростью в сторону, указанную стрелкой, причем полный оборот по окружности она совершает в течение времени Т .

Чертеж 1. Чертеж 2.

Проекция M точки N на направление прямой Х 1 ОХ будет тогда совершать вдоль по ней, вверх и вниз, колебательное движение, называемое простым гармоническим движением и выражаемое следующим уравнением:

x = a sin(2 ? t/T) (I)

если считать время от того момента, когда точка N была в С , а положительные расстояния х по прямой X 1 OX считать по направлению ОХ.

Если же считать время от какого-либо другого момента, то это же движение выразится уравнением:

x = a sin(2 ? t/T- ? ) (II)

где е есть фаза, или эпоха, гармонического колебания, а ? амплитуда и Т ? период, или продолжительность, двойного качания точки М.

На черт. 2 движение, выражаемое уравнением (I), изображено графически. От точки А по прямой At откладываются длины, пропорциональные временам t ; так, длина АР изображает время Т , а длина Ар ? время, в течение которого движущаяся по кругу точка перешла из С в N на черт. 1. Затем от каждой точки, такой как р , откладывают ординату рК, равную соответственному расстоянию ОМ . Построенная кривая будет синусоида; на черт. 2 изображена только часть ее, соответствующая одному полному периоду и представляющая одну волну кривой.

Два или несколько прямолинейных гармонических движений по одной и той же прямой, около того же центра, того же периода, но различных амплитуд и разных фаз, соединяются в одно простое гармоническое движение того же периода. Если а 1 , а 2 , а 3 , ... суть амплитуды составляющих гармонических движений, а ? 1 , ? 2 , ? 3 , ... ? их фазы, то квадрат амплитуды составного простого гармонического движения будет равен:

? 2 + ? 2 ,

a тангенс фазы этого движения равен отношению ? к ?, где ? и ? суть следующие суммы:

? = a 1 cos ? 1 + a 2 cos ? 2 +....

? = a 1 sin ? 1 + a 2 sin ? 2 +....

Из соединения нескольких простых Г. движений различного периода по одной и той же прямой получаются сложные прямолинейные гармонические движения, а из соединения двух простых Г. движений, совершающихся по двум взаимно перпендикулярным или наклонным одна к другой прямым, получаются криволинейные Г. движения. На черт. 3 графически представлено сложное прямолинейное Г. движение, выражаемое уравнением:

x = sin ? t + sin2 ? t ,

Чертеж 3

а на черт. 4 ? другое сложное Г. движение, выражаемое уравнением:

x = sin2 ? t + sin(3 ? t + 3 ? / 8), где ? = 2 ? /T.

Черт. 4

При соединении двух простых Г. движений различных соизмеримых периодов движущаяся точка описывает кривые линии, называемые кривыми Лиссажу. Полную теорию Г. движений можно найти в "Treatise on natural philosophy by T homson and Tait" (Vol. I. Part I, kinematics).

Гармоническое отношение . Понятие о Г. отношении введено древними геометрами. Папп в своей книге "Математический сборник" говорит, что три числа находятся в Г. отношении, если отношение первого к третьему равно отношению разности первого без второго и третьего; такое отношение названо Г. потому, что оно встречалось в теории музыки древних.

Две точки a и а 1 делят длину bс в Г. отношении, если длины ас , аа 1 и ab находятся в Г. отношении, т. е.:

ac / ab = ( ac ? aa 1 )/( aa 1 ? ab ), или

ac / ab = -( ac ? aa 1 )/( ab ? aa 1 ) (III)

или

ab / ac : a 1 b / a 1 c = ? 1.

Гармоническому отношению между тремя длинами ас , аа 1 , ab можно придать еще следующий вид:

2/ aa 1 = 1/ ab + 1/ ac

что нетрудно получить из (III). Г. отношение играет важную роль в высшей геометрии; см. Chasles "Trait e de geometrie superieure".

Гармонические сферические функции. Под именем spherical harmonie functions английские физико-математики подразумевают однородные функции V от х, y , z , удовлетворяющие дифференциальному уравнению:

d 2 V / dx 2 + d 2 V / dy 2 + d 2 V / dz 2 = 0

См . Сферические функции.

Д. Б.

Гармонические движения отдельной частицы происходят под влиянием силы, направленной к положению равновесия частицы и изменяющейся прямо пропорционально расстоянию ее от него. Подобного рода силы возникают при растяжении, сжатии, сгибании упругих тел, при отклонении гибкой натянутой струны из ее положения равновесия и во многих подобных случаях. Поэтому гармоническое движение встречается в природе очень часто: все звуковые колебания, каковы колебания камертонов, струн и т. п. представляют гармоническое движение. Качания маятника при малых размахах, сравнительно с длиной его, происходят по тем же законам. Вследствие пропорциональности движущей силы расстояниям тела от положения равновесия гармоническое движение обладает замечательным свойством ? изохронностью колебаний, т. е. продолжительность периода движения одинакова и при больших и при малых амплитудах колебания. По этой причине одно и то же звучащее тело (камертон, струна и т. п.) издают всегда тон одной и той же высоты, хотя и различной силы (тихий или громкий) в зависимости от силы удара. Продолжительность периода гармонического колебания (Т) зависит исключительно от ускорения (k) на расстоянии единицы длины (1 см) от положения равновесия движущихся частиц, именно

T = 2 ?: vk

Ускорение же движения пропорционально двигающей силе и обратно пропорционально двигаемой массе. Этим и пользуются на практике: при настройке музыкальных инструментов изменяют натяжение струн; для изменения скорости хода карманных часов изменяют длину пружинки маятника и т. д.

Ф . д. Ф.

Брокгауз и Ефрон. Энциклопедия Брокгауза и Ефрона. 2012