функции, однородные функции un степени п от прямоугольных координат х , у , z , удовлетворяющие уравнению Лапласа:
Существуют 2 n + 1 линейно-независимых однородных многочленов от х , у , z целой положительной степени n , являющихся Ш. ф.: их линейная комбинация представляет общий вид такого многочлена степени n. Так, например,
uo a , u1 ax + by + cz ;
u2 a ( x 2 - z 2) + b ( y 2 - z 2) + cxy + dyz + ezx ,
где a , b , с , d , e - произвольные постоянные, представляют общий вид однородных многочленов степеней 0, 1, 2, являющихся Ш. ф. Если вместо прямоугольных координат х , у , z ввести сферические координаты r , q, j, то Ш. ф. выражаются через сферические функции Yп (q,j) по формуле
un rn Yn (q,j).
Каждой Ш. ф. un степени n соответствует Ш. ф. r -2n-1 степени - n- 1.
Ш. ф. применяются при нахождении общего решения уравнения Лапласа и при решении задач математической физики для областей, ограниченных сферическими поверхностями.
Лит. см. при статье Сферические функции .