уравнения, уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Многочисленные задачи физики и математической физики приводят к И. у. различных типов. Пусть, например, требуется с помощью некоторого оптического прибора получить изображение линейного объекта А , занимающего отрезок 0 £ x £ l оси Ox , причём освещённость объекта характеризуется плотностью u ( x ). Изображение В представляет собой некоторый отрезок другой оси x 1;последний путём подходящего выбора начала отсчёта и единицы длины также можно совместить с отрезком 0 £ x 1£ l . Если дифференциально малый участок ( х , х + D х ) объекта А вызывает освещённость изображения В с плотностью K ( x1, x ) u ( x ) dx , где функция K ( x 1 , x ) определяется свойствами оптического прибора, то полная освещённость изображения будет иметь плотность
В зависимости от того, хотят ли добиться заданной освещённости v ( x 1) изображения или 'точного' фотографического изображения [ v ( x ) ku ( x ), где постоянная k заранее не фиксируется], или, наконец, определённой разницы освещённости А и В [ u ( x ) - v ( x ) f ( x )], приходят к различным И. у. относительно функции u ( x ):
Вообще, линейным интегральным уравнением 1-го рода называется уравнение вида
линейным интегральным уравнением 2-го рода, или уравнением Фредгольма,-уравнение вида
[при f ( x ) º 0 оно называется однородным уравнением Фредгольма]; обычно рассматриваются уравнения Фредгольма с параметром l:
Во всех уравнениях функция
- так называемое ядро И. у. - известна, так же, как функция f ( x ) ( а £ х £ b ); искомой является функция u ( x ) ( а £ х £ b ).
Функции K ( x, y ), f ( x ), u ( x ) и параметр уравнения l могут принимать как действительные, так и комплексные значения. В частном случае, когда ядро K ( x , y ) обращается в нуль при у > х , получается уравнение Вольтерра:
И. у. называется особым, если хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен или ядро K ( x , y ) обращается в бесконечность в одной или нескольких точках квадрата а £ х £ b, а £ y £ b или на некоторой линии. И. у. может относиться и к функциям нескольких переменных: таково, например, уравнение
Рассматриваются также нелинейные И. у., например уравнения вида
или
Линейные И. у. 2-го рода решаются следующими методами: 1) решение u ( x ) получается в виде ряда по степеням l (сходящегося в некотором круге |l| < K ) с коэффициентами, зависящими от х (метод Вольтерра - Неймана); 2) решение u ( x ), при тех значениях l, при которых оно вообще существует, выражается через некоторые целые функции от l (метод Фредгольма); 3) в случае, когда ядро симметрично, т. е. К ( х , y ) º К ( у , x ), решение u ( x ) выражается в виде ряда по ортогональным функциям uк ( х ), являющимся ненулевыми решениями соответствующего однородного уравнения
(последнее имеет отличные от нуля решения лишь при некоторых специальных значениях параметра l l к , k 1, 2, ...) (метод Гильберта - Шмидта); 4) в некоторых частных случаях решение сравнительно просто получается с помощью Лапласа преобразования ; 5) в случае, когда
(так называемое вырожденное ядро), отыскание u ( х ) сводится к решению системы алгебраических уравнений. Приближённые решения можно получить, либо применив к какую-либо формулу численного интегрирования, либо заменив данное ядро К ( х , y ) некоторым вырожденным ядром, мало отличающимся от К ( х , у ). К И. у. часто сводятся краевые задачи для дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными; такое сведение имеет и теоретическую и практическую ценность.
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957; Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., М., 1965; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. - М., 1962.
Д. А. Васильков.