Значение СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

произведение векторов а и b , скаляр , равный произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними; обозначается ( а, b )(или ab ) . Например, работа постоянной силы F вдоль прямолинейного пути S равна ( F , S ). Свойства С. п.: 1) ( а, b ) ( b, а ), 2) (a а , b ) a( а, b ) (a - скаляр), 3) ( a , b + c ) ( a, b ) + ( а , с ), 4) ( a , a ) > 0, если а ¹ 0, и ( а , а ) 0, если а 0 .

Длина вектора а равна . Если ( а, b ) 0, то либо а 0, либо b 0, либо a | b. Если а ( a1, a2, a3) и b ( b1, b2, b3), то ( а, b ) a1 b1 + a2b2 + a3b3 (в прямоугольных декартовых координатах). Понятие 'С. п.' обобщают на n -мерные векторные пространства , где равенство ( а, b ) принимают за определение С. и. и с помощью так определённого С. п. вводят геометрическое понятия длины вектора, угла между векторами и т. д. Бесконечномерное линейное пространство , в котором определено С. п. и выполнена аксиома полноты относительно нормы (см. Полное пространство ) , называют гильбертовым пространством . Гильбертовы пространства играют важную роль в функциональном анализе и квантовой механике. Для векторных пространств над полем комплексных чисел условие 1) заменяют условием ( а, b ) и С. п. определяют как .

Векторы а и b можно рассматривать как кватернионы a1i + a2j + a3 k и b1i + b2j + b3k. Тогда их С. п. равно взятой с обратным знаком скалярной части произведения этих кватернионов (а векторное произведение - векторной части).

Большая советская энциклопедия, БСЭ.