В физике и математике вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, и называются они "скалярами".
Векторная запись используется при работе с величинами, которые невозможно задать полностью с помощью обычных чисел. Например, мы хотим описать положение предмета относительно некоторой точки. Мы можем сказать, сколько километров от точки до предмета, но не можем полностью определить его местоположение, пока не узнаем направление, в котором он находится. Таким образом, местонахождение предмета характеризуется численным значением (расстоянием в километрах) и направлением.
Графически векторы изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины, как на рис. 1. Например, для того чтобы представить графически силу в пять килограммов, надо нарисовать отрезок прямой длиной в пять единиц в направлении действия силы. Стрелка указывает, что сила действует от A к B; если бы сила действовала от B к A, то мы бы записали или Для удобства векторы обычно обозначаются полужирными прописными буквами (A, B, C и так далее); векторы A и -A имеют равные численные значения, но противоположны по направлению. Численное значение вектора А называется модулем или длиной и обозначается A или |A|. Это величина, конечно, скаляр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается O.
Два вектора называются равными (или свободными), если их модули и направления совпадают. В механике и физике этим определением, однако, надо пользоваться с осторожностью, так как две равных силы, приложенные к различным точкам тела в общем случае будут приводить к различным результатам. В связи с этим векторы подразделяются на "связанные" или "скользящие", следующим образом:
Связанные векторы имеют фиксированные точки приложения. Например, радиус-вектор указывает положение точки относительно некоторого фиксированного начала координат. Связанные векторы считаются равными, если у них совпадают не только модули и направления, но они имеют и общую точку приложения.
Скользящими векторами называются равные между собой векторы, расположенные на одной прямой.
Сложение векторов. Идея сложения векторов возникла из того, что мы можем найти единственный вектор, который оказывает то же воздействие, что и два других вектора вместе. Если для того, чтобы попасть в некоторую точку, нам надо пройти сначала A километров в одном направлении и затем B километров в другом направлении, то мы могли бы достичь нашей конечной точки пройдя C километров в третьем направлении (рис. 2). В этом смысле можно сказать, что
A + B = C.
Вектор C называется "результирующим вектором" A и B, он задается построением, показанным на рисунке; на векторах A и B как на сторонах построен параллелограмм, а C - диагональ, соединяющая начало А и конец В. Из рис. 2 видно, что сложение векторов "коммутативно", т.е.
A + B = B + A.
Аналогичным образом можно сложить несколько векторов, последовательно соединяя их "непрерывной цепочкой", как показано на рис. 3 для трех векторов D, E и F. Из рис. 3 также видно, что
(D + E) + F = D + (E + F),
т.е. сложение векторов ассоциативно. Суммировать можно любое число векторов, причем векторы необязательно должны лежать в одной плоскости. Вычитание векторов представляется как сложение с отрицательным вектором. Например,
A - B = A + (-B),
где, как определялось ранее, -B - вектор, равный В по модулю, но противоположный по направлению.
Это правило сложения может теперь использоваться как реальный критерий проверки, является ли некоторая величина вектором или нет. Перемещения обычно подчиняются условиям этого правила; то же можно сказать и о скоростях; силы складываются таким же образом, как можно было видеть из "треугольника сил". Однако, некоторые величины, обладающие как численными значениями так и направлениями, не подчиняются этому правилу, поэтому не могут рассматриваться как векторы. Примером являются конечные вращения.
Умножение вектора на скаляр. Произведение mA или Am, где m (m ? 0) - скаляр, а A - ненулевой вектор, определяется как другой вектор, который в m раз длиннее A и имеет тоже направление что и A, если число m положительно, и противоположное, если m отрицательно, как показано на рис. 4, где m равно 2 и -1/2 соответственно. Кроме того, 1A = A, т.е. при умножении на 1 вектор не изменяется. Величина -1A - вектор, равный A по длине, но противоположный по направлению, обычно записывается как -A. Если А - нулевой вектор и(или) m = 0, то mA - нулевой вектор. Умножение дистрибутивно, т.е.
Мы можем складывать любое число векторов, причем порядок слагаемых не влияет на результат. Верно и обратное: любой вектор раскладывается на две или более "компоненты", т.е. на два вектора или более, которые, будучи сложенными, в качестве результирующего дадут исходный вектор. Например, на рис. 2, A и B - компоненты C.
Многие математические действия с векторами упрощаются, если разложить вектор на три компоненты по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Выберем правую систему декартовых координат с осями Ox, Oy и Oz как показано на рис. 5. Под правой системой координат мы подразумеваем, что оси x, y и z располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки. Из одной правой системы координат всегда можно получить другую правую систему координат соответствующим вращением. На рис. 5, показано разложение вектор A на три компоненты и Они в сумме составляют вектор A , так как
Следовательно,
Можно было бы также сначала сложить и получитьа затем к прибавить
Проекции вектора А на три координатные оси, обозначенные Ax, Ay и Az называются "скалярными компонентами" вектора A:
где ?, ? и ? - углы между A и тремя координатными осями. Теперь введем три вектора единичной длины i, j и k (орты), имеющие то же самое направление, что и соответствующие оси x, y и z. Тогда, если Ax умножить на i, то полученное произведение - это вектор, равный и
Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие скалярные компоненты. Таким образом, A = B тогда и только тогда, когда Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz.
Два вектора можно сложить, складывая их компоненты:
Кроме того, по теореме Пифагора:
Линейные функции. Выражение aA + bB, где a и b - скаляры, называется линейной функцией векторов A и B. Это вектор, находящийся в той же плоскости, что A и B; если A и B не параллельны, то при изменении a и b вектор aA + bB будет перемещаться по всей плоскости (рис. 6). Если A, B и C не все лежат в одной плоскости, то вектор aA + bB + cC (a, b и c изменяются) перемещается по всему пространству. Предположим, что A, B и C - единичные векторы i, j и k. Вектор ai лежит на оси x; вектор ai + bj может перемещаться по всей плоскости xy; вектор ai + bj + ck может перемещаться по всему пространству.
Можно было бы выбрать четыре взаимно перпендикулярных вектора i, j, k и l и определить четырехмерный вектор как величину
A = Axi + Ayj + Azk + Awl
с длиной
а можно было бы продолжать до пяти, шести или любого числа измерений. Хотя визуально такой вектор представить невозможно, никаких математических трудностей здесь не возникает. Такая запись часто бывает полезна; например, состояние движущейся частицы описывается шестимерным вектором P (x, y, z, px, py, pz), компоненты которого - ее положение в пространстве (x, y, z) и импульс (px, py, pz). Такое пространство называется "фазовым пространством"; если мы рассматриваем две частицы, то фазовое пространство 12-мерное, если три, то 18-ти и так далее. Число размерностей можно неограниченно увеличивать; при этом величины, с которыми мы будем иметь дело, ведут себя во многом также, как те, которые мы рассмотрим в оставшейся части этой статьи, а именно, трехмерные векторы.
Умножение двух векторов. Правило сложения векторов было получено путем изучения поведения величин, представленных векторами. Нет никаких видимых причин, по которым два вектора нельзя было бы каким-либо образом перемножить, однако это умножение будет иметь смысл только в том случае, если можно показать его математическую состоятельность; кроме того, желательно, чтобы произведение имело определенный физический смысл.
Существуют два способа умножения векторов, которые соответствуют этим условиям. Результатом одного из них является скаляр, такое произведение называется "скалярным произведением" или "внутренним произведением" двух векторов и записывается A?B или (A, B). Результатом другого умножения является вектор, называемый "векторным произведением" или "внешним произведением" и записывается A?B или . Скалярные произведения имеют физический смысл для одного-, двух- или трех измерений, тогда как векторные произведения определены только для трех измерений.
Скалярные произведения. Если под действием некоторой силы F точка, к которой она приложена, перемещается на расстояние r, то выполненная работа равна произведению r и компоненты F в направлении r. Эта компонента равна F cos ?F, r?, где ?F, r? - угол между F и r, т.е.
Произведенная работа = Fr cos ?F, r?.
Это - пример физического обоснования скалярного произведения, определенного для любых двух векторов A, B посредством формулы
A?B = AB cos ?A, B?.
Так как все величины правой части уравнения - скаляры, то
A?B = B?A;
следовательно, скалярное умножение коммутативно.
Скалярное умножение также обладает свойством дистрибутивности:
A?(B + С) = A?B + A?С.
Если векторы A и B перпендикулярны, то cos ?A, B? равен нулю, и, поэтому, A?B = 0, даже если ни A, ни B не равны нулю. Именно поэтому мы не можем делить на вектор. Допустим, что мы разделили обе части уравнения A?B = A?C на A. Это дало бы B = C, и, если бы можно было бы выполнить деление, то это равенство стало бы единственным возможным результатом. Однако, если мы перепишем уравнение A?B = A?C в виде A?(B - C) = 0 и вспомним, что (B - C) - вектор, то ясно, что (B - C) необязательно равен нулю и, следовательно, B не должен быть равным C. Эти противоречивые результаты показывают, что векторное деление невозможно.
Скалярное произведение дает еще один способ записи численного значения (модуля) вектора:
A?A = AA?cos 0? = A2;
поэтому
Скалярное произведение можно записать и другим способом. Для этого вспомним, что:
A = Ax i + Ayj + Azk.
Заметим, что
Тогда,
Поскольку последнее уравнение содержит x, y и z в качестве нижних индексов, уравнение, казалось бы, зависит от выбранной конкретной системы координат. Однако это не так, что видно из определения, которое не зависит от выбранных координатных осей.
Векторные произведения. Векторным или внешним произведением векторов называется вектор, модуль которого равен произведению их модулей на синус угла, перпендикулярный исходным векторам и составляющий вместе с ними правую тройку. Это произведение легче всего ввести, рассматривая соотношение между скоростью и угловой скоростью. Первая - вектор; мы теперь покажем, что последнюю также можно интерпретировать как вектор.
Угловая скорость вращающегося тела определяется следующим образом: выберем любую точку на теле и проведем перпендикуляр из этой точки до оси вращения. Тогда угловая скорость тела - это число радиан, на которые эта линия повернулась за единицу времени.
Если угловая скорость - вектор, она должна иметь численное значение и направление. Численное значение выражается в радианах в секунду, направление можно выбрать вдоль оси вращения, можно его определить, направив вектор в том направлении, в котором двигался бы правосторонний винт при вращении вместе с телом.
Рассмотрим вращение тела вокруг фиксированной оси. Если установить эту ось внутри кольца, которое в свою очередь закреплено на оси, вставленной внутрь другого кольца, мы можем придать вращение телу внутри первого кольца с угловой скоростью ?1 и затем заставить внутреннее кольцо (и тело) вращаться с угловой скоростью ?2. Рисунок 7 поясняет суть дела; круговые стрелки показывают направления вращения. Данное тело - это твердая сфера с центром О и радиусом r.
Придадим этому телу движение, которое является суммой двух различных угловых скоростей. Это движение довольно трудно представить наглядно, но достаточно очевидно, что тело больше не вращается относительно фиксированной оси. Однако все-таки можно сказать, что оно вращается. Чтобы показать это, выберем некоторую точку P на поверхности тела, которая в рассматриваемый нами момент времени находится на большом круге, соединяющем точки, в которых две оси пересекают поверхность сферы. Опустим перпендикуляры из P на оси. Эти перпендикуляры станут радиусами PJ и PK окружностей PQRS и PTUW соответственно. Проведем прямую POP?, проходящую через центр сферы. Теперь точка P, в рассматриваемый момент времени одновременно перемещается по окружностям, которые соприкасаются в точке P. За малый интервал времени ?t, P перемещается на расстояние
Это расстояние равно нулю, если
В этом случае точка P находится в состоянии мгновенного покоя, и точно также все точки на прямой POP?. Остальная часть сферы будет в движении (окружности, по которым перемещаются другие точки, не касаются, а пересекаются). POP? является, таким образом, мгновенной осью вращения сферы, подобно тому, как колесо, катящееся по дороге в каждый момент времени, вращается относительно своей нижней точки.
Чему равна угловая скорость сферы? Выберем для простоты точку A, в которой ось ?1 пересекает поверхность. В момент времени, который мы рассматриваем, она перемещается за время ?t на расстояние
по кругу радиуса r sin ?1. По определению, угловая скорость
Из этой формулы и соотношения (1) мы получим
Другими словами, если записать численное значение и выбрать направление угловой скорости так, как это описано выше, то эти величины складываются как векторы и могут быть рассмотрены как таковые.
Теперь можно ввести векторное произведение; рассмотрим тело, вращающееся с угловой скоростью ?. Выберем любую точку P на теле и любое начало координат О, которое находится на оси вращения. Пусть r - вектор, направленный от О к P. Точка P движется по окружности со скоростью
V = ? r sin (?, r).
Вектор скорости V является касательным к окружности и указывает в направлении, показанном на рис. 8.
Это уравнение дает зависимость скорости V точки от комбинации двух векторов ? и r. Используем это соотношение, чтобы определить новый вид произведения, и запишем:
V = ??? r.
Так как результатом такого умножения является вектор, это произведение названо векторным. Для любых двух векторов A и B, если
A ? B = C,
то
C = AB sin ?A, B?,
и направление вектора C таково, что он перпендикулярен плоскости, проходящей через А и B и указывает в направлении, совпадающем с направлением движения правовращающегося винта, если он параллелен C и вращается от A к B. Другими словами, мы можем сказать, что A, B и C, расположенные в таком порядке, образуют правый набор координатных осей. Векторное произведение антикоммутативно; вектор B ? A имеет тот же модуль, что и A ? B, но направлен в противоположную сторону:
A ? B = -B ? A.
Это произведение дистрибутивно, но не ассоциативно; можно доказать, что
Посмотрим, как записывается векторное произведение в терминах компонент и единичных векторов. Прежде всего, для любого вектора A,
A ? A = AA sin 0 = 0.
Следовательно, в случае единичных векторов,
i ? i = j ? j = k ? k = 0
и
i ? j = k, j ? k = i, k ? i = j.
Тогда,
Это равенство также можно записать в виде определителя:
Если A ? B = 0, то либо A или B равно 0, либо A и B коллинеарны. Таким образом, как и в случае скалярного произведения, деление на вектор невозможно. Величина A ? B равна площади параллелограмма со сторонами A и B. Это легко видеть, так как B sin ?A, B? - его высота и A - основание.
Существует много других физических величин, которые являются векторными произведениями. Одно из наиболее важных векторных произведений появляется в теории электромагнетизма и называется вектором Пойтинга P. Этот вектор задается следующим образом:
P = E ? H,
где E и H - векторы электрического и магнитного полей соответственно. Вектор P можно рассматривать как заданный поток энергии в ваттах на квадратный метр в любой точке. Приведем еще несколько примеров: момент силы F (крутящий момент) относительно начала координат, действующей на точку, радиус-вектор которой r, определяется как r ? F; частица, находящаяся в точке r, массой m и скоростью V, имеет угловой момент mr ? V относительно начала координат; сила, действующая на частицу, несущую электрический заряд q через магнитное поле B со скоростью V, есть qV ? B.
Тройные произведения. Из трех векторов мы можем сформировать следующие тройные произведения: вектор (A?B)???C; вектор (A ??B) ??C; скаляр (A ??B)?C.
Первый тип - произведение вектора C и скаляра A?B; о таких произведениях мы уже говорили. Второй тип называется двойным векторным произведением; вектор A ??B перпендикулярен к плоскости, где лежат A и B, и поэтому (A ??B) ??C - вектор, лежащий в плоскости A и B и перпендикулярный C. Следовательно, в общем случае, (A ??B) ??C ? A ??(B ??C). Записав A, B и C через их координаты (компоненты) по осям x, y и z и умножив, можно показать, что A ??(B ??C) = B ??(A?C) - C ??(A?B). Третий тип произведения, который возникает при расчетах решетки в физике твердого тела, численно равен объему параллелепипеда с ребрами A, B, C. Так как (A ??B)?C = A?(B ??C), знаки скалярного и векторного умножений можно менять местами, и произведение часто записывается как (A B C). Это произведение равно определителю
Заметим, что (A B C) = 0, если все три вектора лежат в одной и той же плоскости или, если А = 0 или (и) В = 0 или (и) С = 0.
См. также:
ВЕКТОР: ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА