анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования.
Развитие Ф. а. происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Ф. а. наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Ф. а.
1. Возникновение функционального анализа. Ф. а. как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Ф. а. сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматической геометрии привело к возникновению в работах М. Фреше и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости.
Среди абстрактных пространств для математического анализа и Ф. а. оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции - откуда и название 'Ф. а.'). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l2 и L2 ( a , b ) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства lp и Lp ( a , b ), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930-40-х гг. в работах Т. Карлемана , Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.
В СССР первые исследования по Ф. а. появились в 30-х гг.: работы
А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных топологических пространств;
Н. Н. Боголюбова (1936) по инвариантным мерам в динамических системах;
Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Ф. а. к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др.
Для современного этапа развития Ф. а. характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п.
2. Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространства Х над полем комплексных чисел (или действительных чисел ), которые одновременно и топологические, причём линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Более частная, но очень важная ситуация возникает, когда в линейном пространстве Х можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве. Именно, нормой элемента x Î Х называется действительное число || x || такое, что всегда || x || ³ 0 и || x || 0 тогда и только тогда, когда x 0;
||l x || |l| || x ||, l Î ;
|| x + y || £ || x || + || y ||.
Такое пространство называется линейным нормированным; топология в нём вводится при помощи метрики dist ( x , у ) || x - у || (т. о. считается, что последовательность xn x , если || xn - x || 0 .
В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение - обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x , у Î Х называется комплексное число ( x , у ) такое, что всегда ( x , x ) ³ 0 и ( x , x ) 0 тогда и только тогда, когда x 0;
, l, m Î
При этом является нормой элемента x . Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Ф. а. важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что для xm , xn Î X, следует существование предела , также являющегося элементом Х ). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.
Обычное евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства . Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в ) функций x ( t ), определённых на некотором множестве Т , с обычными алгебраическими операциями [т. e .( x + y )( t ) x ( t ) + y ( t ), (l x )( t ) l x ( t )]
Банахово пространство С ( Т ) всех непрерывных функций, Т - компактное подмножество n- мерного пространства , норма || x || ; банахово пространство Lp ( T ) всех суммируемых с р -й ( p ³ 1) степенью функций на Т , норма ; банахово пространство lp всех последовательностей таких, что , здесь (множеству целых чисел), норма || x || (å| xj | p )1/p; в случае p 2 пространства l2 и L2 ( T ) гильбертовы, при этом, например, в L2 ( T ) скалярное произведение ; линейное топологическое пространство D (), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на , каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала ( а , b )]; при этом xn x, если xn ( t ) равномерно финитны [т. е. ( а , b ) не зависит от n ] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x ( t ).
Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l2 : векторы ej {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.
С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н , свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x , у Î Н называются ортогональными ( x | y ), если ( x , у ) 0 . Для любого x Î Н существует его проекция на произвольное подпространство F - линейное замкнутое подмножество Н , т. е. такой вектор xF , что x - xF | f для любого f Î F . Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н , где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса - последовательности векторов ej , j Î , из Н таких, что || ej || 1, ej | ek при j ¹ k , и для любого x Î H справедливо 'покоординатное' разложение
x å xjej (1)
где xj ( x , ej ), || x || å| xj |2 (для простоты Н предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н взять L 2(0, 2p) и положить , j ...,-1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x ( t ) Î L 2(0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н и l 2 ' {xj} , j Î , является изоморфизмом, т. е. линейной изометрией, так что последнее пространство в этом отношении универсально.
Подобные геометрические вопросы резко усложняются при переходе от гильбертовых к банаховым и тем более линейным топологическим пространствам в связи с невозможностью ортогонального проектирования в них. Например, 'проблема базиса'. Векторы e , образуют базис в lp в смысле справедливости разложения (1). Базисы построены в большинстве известных примеров банаховых пространств, однако проблема (С. Банаха - Ю. Шаудера) существования базиса в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 была решена отрицательно. В Ф. а. важное место занимает подобная 'геометрическая' тематика, посвященная выяснению свойств различных множеств в банаховых и др. пространствах, например выпуклых, компактных и т.д. Здесь часто просто формулируемые вопросы имеют весьма нетривиальные решения. Эта тематика тесно связана с изучением изоморфизма пространств, с нахождением универсальных (подобно l 2) представителей в том или ином классе пространств и т.п.
Большой раздел Ф. а. посвящен детальному изучению конкретных пространств, т.к. их свойства обычно определяют характер решения задачи, получаемой методами Ф. а. Типичный пример - теоремы вложения для т. н. пространств С. Л. Соболева и их обобщений: простейшее такое пространство W lp ( T ), p ³ 1, l 0, 1, 2,..., определяется как пополнение пространства бесконечно дифференцируемых в Т функций x ( t ) относительно нормы å|| D a x || в Lp ( T ), где сумма распространяется на все производные D a до порядка £ l . В этих теоремах выясняется вопрос о характере гладкости элементов пространства, получаемых процедурой пополнения.
В связи с запросами математической физики в Ф. а. возникло большое число конкретных пространств, строящихся из известных ранее при помощи определённых конструкций. Наиболее важные из них:
ортогональная сумма гильбертовых пространств Hj - конструкция, подобная образованию Н одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство ( x , x ) 0 для x ¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н строится процедурой пополнения Х относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x , для которых ( x , x ) 0; тензорное произведение - образование его аналогично переходу от функций одной переменной f ( x1 ) к функциям многих переменных f ( x1 ,..., xq ); проективный предел банаховых пространств - здесь (грубо говоря), если для каждого a; индуктивный предел банаховых пространств X1 Ì X2 Ì..., здесь , если все xj , начиная с некоторого j0 , лежат в одном Xj0 , и в нём .Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства - проективный предел гильбертовых пространств Н a, обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что h b Ì Н a, и это - т. н. вложение Гильберта - Шмидта [D () - пример ядерного пространства].
Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой 'x 0' (полуупорядоченностью). Пример такого пространства - действительное С ( Т ), в нём считается x 0, если x ( t ³)0 для всех t Î T .
3. Операторы (общие понятия). Функционалы. Пусть X , Y - линейные пространства; отображение A : X - Y называется линейным, если для x , у Î X , l, m Î ,
A (l x + m у ) l Ax + m Ау ;
линейные отображения обычно называются линейными операторами. В случае конечномерных X , Y структура линейного оператора простая: если зафиксировать базисы в Х и Y , то
,
где x1 ,..., xn и ( Ax )1,..., ( Ax ) n - координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L2 ( а , b ) в него же оператор
(2)
(где K ( t , s ) - ограниченная функция - ядро А ) - непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C1 ( a , b ) Ì L2 ( a , b ) оператор дифференцирования
(3)
является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).
Непрерывный оператор A : X - Y , где X , Y - банаховы пространства, характеризуется тем, что
,
поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов ( X , Y ) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой || A ||. Свойства ( X , Y ) во многом отражают свойства самих Х и Y . В особенности это относится к случаю, когда Y одномерно, т. е. когда рассматриваются линейные непрерывные отображения l : X - , называются (линейными непрерывными) функционалами. Пространство ( X , ) называется сопряжённым к Х пространством и обозначается X' . Если Х Н гильбертово, то структура H' проста: подобно конечномерному случаю, каждый функционал l ( x ) имеет вид ( x , a ), где a - зависящий от l вектор из Н (теорема Риса). Соответствие H' - Н устанавливает изоморфизм между H' и Н , и можно считать, что H' Н . В случае общего банахова пространства Х ситуация гораздо сложнее: можно строить X' , X' ( X' ) ' ,..., и эти пространства могут оказаться различными. Вообще, в случае банахова пространства непрост даже вопрос о существовании нетривиальных (т. е. отличных от 0) функционалов. Если F - подпространство Х (не сводящееся к одной точке) и существует l Î F' , то этот функционал можно продолжить на всё Х до функционала из X' без изменения нормы (теорема Хана - Банаха). Если l Î Х , то уравнение l ( x ) c определяет гиперплоскость - сдвинутое на некоторый вектор подпространство X , имеющее на единицу меньшую, чем X , размерность, так что результаты типа указанной теоремы имеют простую геометрическую интерпретацию.
Пространство X' в известном смысле 'лучше' X . Так, например, в нём можно наряду с нормой ввести т. н. слабую топологию [грубо говоря, , если для каждого x Î X ], относительно которой шар, т. е. множество точек x Î Х таких, что || x || £ r , уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из X' , например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна - Мильмана).
Важной задачей Ф. а. является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например ( lp )¢, p > 1, состоит из функций вида å xjej , где , . Однако для большинства банаховых (и в особенности линейных топологических) пространств функционалы будут элементами новой природы, не конструирующимися просто средствами классического анализа. Так, например, при фиксированных t0 и m на пространстве D () определён функционал . В случае m 0 его ещё можно записать 'классическим' образом - при помощи интеграла, однако при m ³ 1 это уже невозможно. Элементы из ( D ())¢ называются обобщёнными функциями (распределениями). Обобщённые функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D () заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки пространств Ф' E Н E Ф, где Н - исходное гильбертово пространство, а Ф - линейное топологическое (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, например
Ф Wl2 ( T ).
Дифференциальный оператор D , фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L2 [ a , b ] из пространства C1 [ a , b ], снабженного нормой , Однако для многих задач, и прежде всего для спектральной теории, такие дифференциальные операторы необходимо интерпретировать как действующие в одном и том же пространстве. Эти и другие близкие задачи привели к построению общей теории неограниченных, в частности неограниченных самосопряжённых, и эрмитовых операторов.
4. Специальные классы операторов. Спектральная теория. Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнения вида Cx y , где С - некоторый оператор, у Î Y - заданный, а x Î Х - искомый векторы. Например, если Х Y L2 ( а , b ), С Е - А , где А - оператор из (2), а Е - тождественный оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С - дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т.п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из Х в множество из Y , замыкание которого компактно [таков, например, оператор А из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения x - Ax у , вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).
В разнообразных задачах математической физики возникает т. н. задача на собственные значения : для некоторого оператора А : Х - Х требуется выяснить возможность нахождения решения j ¹ 0 ( собственного вектора ) уравнения А j lj при некотором l Î (соответствующем собственном значении). Действие А на собственный вектор особенно просто - оно сводится к умножению на скаляр. Поэтому, если, например, собственные векторы оператора А образуют базис ej , j Î , пространства X , т. е. имеет место разложение типа (1), то действие А становится особенно наглядным:
Ax ål jxjej ,(4)
где l j , - собственное значение, отвечающее ej . Для конечномерного Х вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в Х нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор SpA собственных значений в этом случае называется спектром А .
Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А из (2) с симметричным ядром [т. е. K ( t , s ) K ( s , t ) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с. самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L2 [ a , b ]
( Tx )( t ) tx ( t )(5)
не имеет собственных значений. Поэтому определение спектра было пересмотрено, обобщено и выглядит сейчас следующим образом.
Пусть Х - банахово пространство, А Î ( X , X ). Точка z Î называется регулярной для А , если обратный оператор ( А - zE )v1 Rz (т. е. обратное отображение) существует и принадлежит ( X , X ). Дополнение к множеству регулярных точек и называется спектром Sp А оператора А . Как и в конечномерном случае, Sp А всегда не пуст и расположен в круге || z || £ || A ||. С помощью этих понятий построена операторов теория , т. е. выяснено, как придавать разумный смысл некоторым функциям от операторов. Так, если f ( z ) - многочлен, то f ( A ) (степень оператора понимается как последовательное его применение). Однако если f ( z ) - аналитическая функция, то так прямо понимать f ( A ) уже не всегда возможно; в этом случае f ( A ) определяется следующей формулой, если f ( z ) аналитична в окрестности SpA, а Г - контур, охватывающий SpA и лежащий в области аналитичности f ( z ):
.(6)
При этом алгебраические операции над функциями переходят в аналогичные операции над операторами [т. е. отображение f ( z ) - f ( A ) - гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, например, вопросы полноты собственных и присоединённых векторов для общих операторов, однако для самосопряжённых операторов, представляющих основной интерес, например, для квантовой механики, подобная теория полностью разработана.
Пусть Н - гильбертово пространство. Ограниченный оператор А : Н - Н называется самосопряжённым, если ( Ax , у ) ( x , Ау ) (в случае неограниченного А определение более сложно). Если Н n -мерно, то в нём существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряжённого оператора А ; другими словами, имеют место разложения:
, ,(7)
где P (l j ) - оператор проектирования (проектор) на подпространство, натянутое на все собственные векторы оператора А , отвечающие одному и тому же собственному значению l j .
Оказывается, что эти формулы могут быть обобщены на произвольный самосопряжённый оператор из Н , только сами проекторы P (l j ) могут не существовать, поскольку могут отсутствовать и собственные векторы [таков, например, оператор Т в (5)]. В формулах (7) суммы заменяются теперь интегралами Стилтьеса по неубывающей операторнозначной функции Е (l) [которая в конечномерном случае равна ], называется разложением единицы, или спектральной (проекторной) мерой, точки роста которой совпадают со спектром Sp А . Если привлечь обобщённые функции, то формулы типа (7) сохраняются. Именно, если имеется тройка Ф' E Н E Ф , где Ф, например, ядерно, причём А переводит Ф в Ф¢ и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по некоторой скалярной мере, а Е (l) теперь 'проектирует' Ф в Ф¢, давая векторы из Ф¢, которые будут собственными в обобщённом смысле для А с собственным значением l. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторов (т. е. коммутирующих со своими сопряжёнными). Например, они верны для унитарных операторов U - таких ограниченных операторов, которые отображают всё Н на всё Н и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр Sp U расположен на окружности | z | 1, вдоль которой и производится интегрирование в аналогах формул (6). См. также Спектральный анализ линейных операторов.
5. Нелинейный функциональный анализ. Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто - в исходное). Одной из центральных задач нелинейного Ф. а. является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение пространства в (или в ) называется функционалом. Для нелинейных отображений (в частности, нелинейных функционалов) можно различными способами определить дифференциал, производную по направлению и т.д. аналогично соответствующим понятиям классического анализа. Выделение из отображения квадратичного и т.д. членов приводит к формуле, аналогичной формуле Тейлора.
Важной задачей нелинейного Ф. а. является задача отыскания неподвижных точек отображения (точка x называется неподвижной для отображения F , если Fx x ). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскания собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного Ф. а. явление - т. н. точки ветвления (решений).
При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологические методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т.п. Топологические методы Ф. а. развивались польским математиком Ю. Шаудером, французским математиком Ж. Лере, советскими математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др.
6. Банаховы алгебры. Теория представлений. На ранних этапах развития Ф. а. изучались задачи, для постановки и решения которых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер , 1936). В конце 30-x гг. в работах японского математика М. Нагумо, советских математиков И. М, Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (современное название - банаховы алгебры), в которой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причём || xy || £ || x || || y ||). Типичными представителями банаховых алгебр являются кольца ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х (умножение в нём - последовательное применение операторов - необходимо с учётом порядка), различного рода функциональные пространства, например C ( T ) с обычным умножением, L1 () со свёрткой в качестве произведения, и широкое обобщение их - класс т. н. групповых алгебр (топологические группы G ), состоящих из комплекснозначных функций или мер, определённых на G со свёрткой (в различных, не обязательно эквивалентных вариантах) в качестве умножения.
Пусть - коммутативная (т. е. xy ух для любых x , у Î ) банахова алгебра с единицей (т. е. таким элементом e , что ex xe x , || e || 1). Идеалом алгебры называется такое подпространство I Î , что из x Î и а Î I следует xa Î I . Идеал называется максимальным, если он не содержится ни в каком нетривиальном (т. е. отличном от ) идеале. Оказывается, что во множестве М всех максимальных идеалов можно так ввести компактную топологию, что каждому элементу x Î соответствует комплекснозначная непрерывная функция на М , причём сумме x + y и произведению xy соответствуют сумма и произведение функций. Другими словами, существует гомоморфизм в пространстве С ( М ) (теорема Гельфанда).
В некоммутативном случае наиболее изучены банаховы алгебры с инволюцией - таким отображением *: - , что для любых x , у Î , l, m Î
( x* )* x ,
(l x + m y )* `l x* +`m y* .
( ху )* у*х* .
Такова, например, банахова алгебра ( H ) ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Н , инволюция в нём - переход к сопряжённому оператору [оператор А* называется сопряжённым к оператору А Î (Н), если ( A* x , у ) ( x , Ау ) для любых x , у Î Н , в случае неограниченного оператора определение сложнее]. В частности, самосопряжённый оператор характеризуется тем, что А* А , а унитарный U* U-1 Пусть банахова алгебра с инволюцией удовлетворяет условию: || xx* || || x ||2 для любого x Î (т. е. является т. н. С* -алгеброй). Тогда изометрически изоморфна подалгебре алгебры ( H ) (теорема Гельфанда - Наймарка). Кроме того, в коммутативном случае изоморфна С ( М ).
Мультипликативная структура банаховой алгебры ( H ) играет важную роль в т. н. теории представлений групп и алгебр. Вообще, представление абстрактных математических объектов более простыми, или во всяком случае более привычными, является одним из мощных методов в математике. Так, например, спектральное разложение (7) самосопряжённого оператора А можно интерпретировать как представление А в виде интеграла от операторов умножения на независимую переменную l измеримых функций некоторого класса: А òl dE (l). Если рассмотреть умножение функций того же класса на борелевские функции, то получается представление коммутативного кольца операторов в гильбертовом пространстве. Другие более общие примеры приведены ниже.
Наиболее полно развита теория линейных представлений топологических групп (в т. ч. конечных). Линейным представлением (топологической) группы G называется гомоморфизм p: G - ( X ), где ( X ) - группа (относительно умножения) линейных операторов некоторого (топологического) линейного пространства Х [т, е. по существу ( X ) - группа преобразований пространства X]. Обычно рассматриваются непрерывные представления - такие, что отображение { g , x } - p( g ) x непрерывно по совокупности аргументов g Î G , x Î X . Аналогично определяется представление кольца и алгебры, в частности банаховой алгебры; здесь требуется дополнительно, чтобы линейная структура соответствовала линейной структуре кольца ( X ). Наиболее изученным и наиболее важным для приложений (динамические системы, квантовая механика и квантовая теория поля) является класс унитарных представлений, когда Х Н - гильбертово пространство, а p( g ) - унитарные операторы для всех g Î G .
Пусть G - локально компактная группа, dg - мера Хаара на G , т. е. неотрицательная мера на кольце борелевских подмножеств G , инвариантная справа: для любых В Î и h Î G выполнено равенство ò Bh dg ò Bdg . Пусть, далее, L1 ( G , dg ) - групповая алгебра суммируемых (относительно dg ) функций на G . Каждому h Î G соответствует унитарный (вследствие инвариантности dg ) оператор (группового) сдвига Th в L1 ( G , dg ), определяемый для f ( g ) Î L1 ( G , dg ), g Î G формулой Thf ( g ) f ( gh ), при этом Th1Th2 Th1h2 , ( Th )-1 Th-1 т. е. Отображение p( h ) Th - унитарное представление G . В свою очередь, группа сдвигов (образ G при отображении p) гомоморфно отображается на пространство L1 ( G , dg ), которое, т. о., можно считать ареной действия (обратного) представления операторов Th функциями f ( g ).
Если G коммутативна, то структура операторов сдвига описывается следующей формулой , где c( h ) - характер группы G : непрерывная функция на G такая, что |c( h )| 1 и c( h1h2 ) c( h1 )c( h2 ), d c - мера Хаара на группе характеров , а
,
- обобщённое преобразование Фурье функций f ( g ) и k ( g ), которое продолжается до изоморфизма L2 ( G , dg ) в L2 (, dc). Для некоммутативных групп ситуация во многом усложняется. Если G компактна, то представление группы операторов сдвига (или, короче, группы сдвигов) удаётся хорошо описать; в этом случае L2 ( G , dg ) распадается в прямую сумму конечномерных инвариантных относительно сдвигов подпространств. Если G некомпактна, то также получается разложение L2 ( G , dg ) на более простые инвариантные части, но уже не в прямую сумму, а в прямой интеграл.
Если G , то теория унитарных представлений может быть сведена к теории самосопряжённых операторов. Именно, однопараметрическая группа унитарных операторов Т l, l Î в гильбертовом пространстве Н допускает представление Т l exp i l A , где А - самосопряжённый оператор (теорема Стоун а); оператор А называется инфинитезимальным оператором (генератором) группы { Т' l}. Этот результат находит важные применения в изучении преобразований фазового пространства классической механики. Эта связь, а также приложения в статистической физике лежат в основе обширной ветви Ф. а. - эргодической теории . Связь между однопараметрическими группами преобразований и их генераторами допускает значительные обобщения: операторы T l не обязаны быть унитарными, могут действовать в банаховых и более общих пространствах и даже быть определёнными лишь для l ³ 0 (т. н. теория полугрупп операторов). Этот раздел Ф. а. имеет приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории случайных (именно марковских) процессов.
Лит.: Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа 4 изд., М., 1976; Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; Вулих Б. З., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; Банах С. С., Курс функцioнального аналiзу Киiв, 1948; Рисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950; Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., 1959; Красносельский М. А., Забрейко П. П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975; Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; Иосида К., Функциональный анализ, пер, с англ., М., 1967; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1-3, М., 1962-74; Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; Эдвардс Р. Э., Функциональный анализ. Теория и приложения пер с англ., М., 1969.
Ю. М. Березанский, Б. М. Левитан.