вектор-функция , функция f ( x ) векторного переменного х , обладающая следующими свойствами: 1) f ( x + у ) f ( x ) + f ( y ) , 2) f (l x )l f ( x ) (l - число). Л. в.-ф. в n -мерном пространстве вполне определяется значениями, принимаемыми ею для n линейно независимых векторов. Скалярную (принимающую числовые значения) Л. в.-ф. называют также линейным функционалом ; в n-mepном пространстве она выражается линейной формой , f ( x ) a1x1 + a2x2 +... + anxn от координат x1, x2,..., xn вектора х . Примером скалярной Л. в.-ф. является скалярное произведение вектора х и некоторого постоянного вектора а :
f ( x )( а, х ) ,
в пространстве, в котором определено скалярное произведение, всякая скалярная Л. в.-ф. имеет такой вид. Векторная (принимающая векторные значения) Л. в.-ф. определяет линейное или аффинное преобразование пространства и называется также линейным оператором , или аффинором. Векторная Л. в.-ф. у f ( x ) в n -мерном пространстве выражается в координатах формулами:
y1 a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn,
y2 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn,
...
yn an1x1 + an2x2 + ... + annxn.
Здесь числа aij ( i, j 1, 2,..., n ) составляют матрицу векторной Л. в.-ф. Если определить сумму векторных Л. в.-ф. f ( x ) и g ( x ) как Л. в.-ф. f ( x ) + g ( x ) , а произведение тех же функций, как Л. в.-ф. g{f ( x ) }, то сумме и произведению векторных Л. в.-ф. будут соответствовать сумма и произведение соответствующих матриц. Примером векторной Л. в.-ф. является Л. в.-ф. вида:
f ( x )( A1, х ) a1 + ( А2, х ) a2 +... + ( An, х ) an,
где A1 , A2 , ..., An , a1 , a2 , ... an - постоянные векторы; в n-мерном пространстве, в котором определено скалярное произведение, всякая векторная Л. в.-ф. может быть представлена в таком виде.
Функцию нескольких векторных переменных, являющуюся Л. в.-ф. относительно каждого своего аргумента, называют полилинейной (билинейной, трилинейной и т. д.) вектор-функцией. Скалярное и векторное произведения двух переменных векторов могут служить примерами, соответственно скалярной и векторной билинейных вектор-функций. Полилинейные вектор-функции приводят к понятию тензора . О Л. в.-ф. (линейных функционалах и операторах) в бесконечномерном пространстве см. Функциональный анализ .