дифференциальные уравнения , дифференциальные уравнения вида
y ( n ) + p1 ( x ) у ( n-1 ) + ... + pn ( x ) y f ( x ) , (1)
где у y ( x ) - искомая функция, y ( n ) , у ( n-1 ) ,..., y' - её производные, a p1 ( x ) , p2 ( x ) ,..., pn ( x ) (коэффициенты) и f ( x ) (свободный член) - заданные функции (см. Дифференциальные уравнения ) . В уравнение (1) искомая функция у и её производные входят в 1-й степени, т. е. линейно, поэтому оно называется линейным. Если f ( x ) º 0, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Общее решение y0 y0 ( x ) однородного Л. д. у. при условии непрерывности его коэффициентов pk ( x ) выражается формулой:
y0 C1y1 ( x ) + С2у2 ( х ) + ... + Cnyn ( x ) ,
где C1, C2,..., Cn - произвольные постоянные и y1 ( x ) , у2 ( х ) ,..., yn ( x ) - линейно независимые (см. Линейная зависимость )частные решения, образующие т. н. фундаментальную систему решений. Критерием линейной независимости решений служит неравенство нулю (хотя бы в одной точке) определителя Вроньского ( вронскиана ) :
(2)
Общее решение у у ( х ) неоднородного Л. д. у. (1) имеет вид:
y y0+Y ,
где y0 y0 ( x ) - общее решение соответствующего однородного Л. д. у. и Y Y ( x ) - частное решение данного неоднородного Л. д. у. Функция Y ( x ) может быть найдена по формуле:
,
где yk ( x ) - решения, составляющие фундаментальную систему решений однородного Л. д. у., и Wk ( x ) - алгебраическое дополнение элемента yk ( n-1 )( x ) в определителе (2) Вроньского W ( x ).
Если коэффициенты уравнения (1) постоянны: pk ( x ) ak ( k 1, 2, ..., n ), то общее решение однородного уравнения выражается формулой:
,
где ak | ibk ( k 1, 2, ..., m ; ) - корни т. н. характеристического уравнения:
ln + a1ln-1 + ... +an 0,
nk - кратности этих корней и Cks, Dks - произвольные постоянные.
Пример. Для Л. д. у. y- + у 0 характеристическое уравнение имеет вид: l3 + 1 0 . Его корнями являются числа:
l1 -1; l2 и l3
Следовательно, общее решение этого уравнения таково:
.
Системы Л. д. у. имеют вид:
(3)
( j 1, 2, ..., n ).
Общее решение однородной системы Л. д. у. [получаемой из системы (3), если все fj ( x )º 0] даётся формулами:
( j 1, 2, ..., n )
где yj1, yj2, ..., yjn - линейно независимые частные решения однородной системы (т. е. такие, что определитель - yjk ( x )- ¹ 0 хотя бы в одной точке).
В случае постоянных коэффициентов pjk ( x ) ajk частные решения однородной системы следует искать в виде:
( j 1, 2, ..., n ),
где Ajs - неопределённые коэффициенты, a lk - корни характеристического уравнения
и mk - кратность этих корней. Полный анализ всех возможных здесь случаев проводится с помощью теории элементарных делителей [см. Нормальная (жорданова) форма матриц ] .
Для решения Л. д. у. и систем Л. д. у. с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.
Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 20 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970.