экстремум, относительный экстремум, экстремум функции f ( x1,..., xn + m ) от п + т переменных в предположении, что эти переменные подчинены ещё т уравнениям связи (условиям):
j k ( x1,..., xn + m )0, 1£ k £ m (*)
(см. Экстремум ) . Точнее, функция f имеет У. э. в точке М, координаты которой удовлетворяют уравнениям (*), если её значение в точке М является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями f в точках некоторой окрестности точки М, координаты которых удовлетворяют уравнениям (*). Геометрически в простейшем случае У. э. функции f ( x, у ) при условии j( х, у )0 является наивысшей или наинизшей (по сравнению с близлежащими точками) точкой линии, лежащей на поверхности z f ( x, у ) и проектирующейся на плоскость хОу в кривую j( х, у )0. В точке У. э. линия j( х, у )0 либо имеет особую точку, либо касается соответствующей линии уровня [см. Уровня линии (поверхности) ] функции f ( x, у ) . При некоторых дополнительных условиях на уравнения связи (*) разыскание У. э. функции f можно свести к разысканию обычного экстремума функции, выразив x1 + 1.., xn + m из уравнения (*) через x1,..., xn и подставив эти выражения в функцию f. Др. метод решения v Лагранжа метод множителей .
Задачи на У. э. возникают во многих вопросах геометрии (например, разыскание прямоугольника наименьшего периметра, имеющего заданную площадь), механики, экономики и т.д.
Многие задачи вариационного исчисления приводят к разысканию экстремумов функционалов при условии, что др. функционалы имеют заданное значение (см., например, Изопериметрические задачи )или же к задаче о разыскании экстремума функционала в классе функций, удовлетворяющих некоторым уравнениям связи, и т.д. Решение таких задач также проводится методом множителей Лагранжа. См. также Линейное программирование . Математическое программирование и лит. при этих статьях.