в математике и статистике, отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным её значениям. Например, отыскание значений функции f ( x ) в точках х , лежащих между точками (узлами И.) x 0 < x 1 < ... < xn , по известным значениям yi f ( xi ) (где i 0, 1, ..., n ). В случае, если х лежит вне интервала, заключённого между x 0 и xn , аналогичная задача наывается задачей экстраполяции. При простейшей линейной И. значение f ( x ) в точке х , удовлетворяющей неравенствам x 0 < x < x 1, принимают равным значению
линейной функции, совпадающей с f ( x ) в точках х x 0 и х x 1. Задача И. со строго математической точки зрения является неопределённой: если про функцию f ( x ) ничего неизвестно, кроме её значений в точках x 0, x 1,..., хn , то её значение в точке х , отличной от всех этих точек, остаётся совершенно произвольным. Задача И. приобретает определённый смысл, если функция f ( x ) и её производные подчинены некоторым неравенствам. Если, например, заданы значения f ( x 0) и f ( x 1) и известно, что при x 0 < x < x 1 выполняется неравенство | f ¢-( x )| £ M , то погрешность формулы (*) может быть оценена при помощи неравенства
Более сложные интерполяционные формулы имеет смысл применять лишь в том случае, если есть уверенность в достаточной 'гладкости' функции, т. е. в том, что она обладает достаточным числом не слишком быстро возрастающих производных.
Кроме вычисления значений функций, И. имеет и многочисленные другие приложения (например, при приближённом интегрировании, приближённом решении уравнений, в статистике при сглаживании рядов распределения с целью устранения случайных искажений).
Лит.: Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; Крылов А. Н., Лекции о приближённых вычислениях, 6 изд., М., 1954; Юл Дж. Э., Кендэл М. Дж., Теория статистики, пер. с англ., 14 изд., М., 1960.