тригонометрия, математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников (см. Сферическая геометрия ) . Пусть А , В, С - углы и а, b, с - противолежащие им стороны сферического треугольника ABC (см. рис. ). Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами С. т.:
(1)
cos а cos b cos с + sin b sin с cos А, (2)
cos A - cos B cos С + sin B sin С cos a, (21)
sin a cos B cos b sin c - sin b cos с cos А ,(3)
sin А cos b cos B sin C + sin B cos С cos a ;(31)
в этих формулах стороны а, b, с измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R - радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки: А - В - С - А ( а - b - с - а ) , можно написать другие формулы С. т., аналогичные указанным. Формулы С. т. позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).
Для прямоугольных сферических треугольников ( А 90|, а - гипотенуза, b, с - катеты) формулы С. т. упрощаются, например:
sin b sin a sin В ,(1')
cos a cos b cos c, (2')
sin a cos B cos b sin c .(3')
Для получения формул, связывающих элементы прямоугольного сферического треугольника, можно пользоваться следующим мнемоническим правилом (правилом Непера): если заменить катеты прямоугольного сферического треугольника их дополнениями и расположить элементы треугольника (исключая прямой угол А )по кругу в том порядке, в каком они находятся в треугольнике (то есть следующим образом: В, а, С, 90| - b, 90| - с), то косинус каждого элемента равен произведению синусов неприлежащих элементов, например,
cos а sin (90| - с ) sin (90| - b )
или, после преобразования,
cos а cos b cos с (формула 2').
При решении задач удобны следующие формулы Деламбра, связывающие все шесть элементов сферического треугольника:
,
,
,
.
При решении многих задач сферической астрономии, в зависимости от требуемой точности, часто оказывается достаточным использование приближённых формул: для малых сферических треугольников (то есть таких, стороны которых малы по сравнению с радиусом сферы) можно пользоваться формулами плоской тригонометрии; для узких сферических треугольников (то есть таких, у которых одна сторона, например а, мала по сравнению с другими) применяют следующие формулы:
(1-)
(3-)
или более точные формулы:
(1-)
(3-)
С. т. возникла значительно раньше плоской тригонометрии. Свойства прямоугольных сферических треугольников, выражаемые формулами (1')-(3'), и различные случаи их решения были известны ещё греческим учёным Менелаю (1 в.) и Птолемею (2 в.). Решение косоугольных сферических треугольников греческие учёные сводили к решению прямоугольных. Азербайджанский учёный Насирэддин Туей (13 в.) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников, впервые указав решение в двух труднейших случаях. Основные формулы косоугольных сферических треугольников были найдены арабским учёным Абу-ль-Вефа (10 в.) [формула (1)], немецким математиком И. Региомонтаном (середина 15 в.) [формулы типа (2)], французским математиком Ф. Виетом (2-я половина 16 в.) [формулы типа (21)] и Л. Эйлером (Россия, 18 в.) [формулы типа (3) и (31)]. Эйлер (1753 и 1779) дал всю систему формул С. т. Отдельные удобные для практики формулы С. т. были установлены шотландским математиком Дж. Непером (конец 16 - начало 17 вв.), английским математиком Г. Бригсом (конец 16 - начало 17 вв.), русским астрономом А. И. Лекселем (2-я половина 18 в.), французским астрономом Ж. Деламбром (конец 18 - начало 19 вв.) и др.
Лит. см. при ст. Сферическая геометрия .