функция в математике,
1) то же, что собственная функция .
2) Х. ф. множества А (в современной терминологии - индикатор А ) - функция f ( x ), определённая на некотором множестве Е , содержащем множество А , и принимающая значение f ( x ) 1, если x принадлежит множеству А , и значение f ( x ) 0, если x не принадлежит ему. 3) В теории вероятностей Х. ф. fX ( t ) случайной величины Х определяется как математическое ожидание величины eitX . Это определение для случайных величин, имеющих плотность вероятности pX ( x ), приводит к формуле
.
Например, для случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами а и s, Х. ф. равна
.
Свойства Х. ф.: каждой случайной величине Х соответствует определённая Х. ф. fX ( t ); распределение вероятностей для Х однозначно определяется по fX ( t ); при сложении независимых случайных величин соответствующие Х. ф. перемножаются; при надлежащем определении понятия 'близости' случайным величинам с близкими распределениями соответствуют Х. ф., мало отличающиеся друг от друга, и, обратно, близким Х. ф. соответствуют случайные величины с близкими распределениями. Указанные свойства лежат в основе применений Х. ф., в частности к выводу предельных теорем теории вероятностей. Впервые аппарат, по существу равнозначный Х. ф., был использован П. Лапласом (1812), но вся сила метода Х. ф. была показана А. М. Ляпуновым (1901), получившим с его помощью свою известную теорему.
Понятие Х. ф. может быть обобщено на конечные и бесконечные системы случайных величин (т. е. на случайные векторы и случайные процессы).
Теория Х. ф. имеет много общего с теорией Фурье интеграла .
Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973.