(мат.). ? В ст. Дифференциальное исчисление уже объяснено, что такое Ф. и какие Ф. называются явными и неявными, однозначными и многозначными. В ст. Трансцендентные функции дано определение этих Ф. и указано их отличие от алгебраических Ф. К сказанному следует еще прибавить несколько замечаний. Предположим, что y есть Ф. от независимой переменной x. Может случиться, что эта Ф. определена не для всех значений x , а только для некоторых. Например, Ф.
y = 1•2•3•...( x ? 1)• x
определена только для целых положительных значений x. При
x = 1, 2, 3, 4...
y = 1, 1•2, 1•2•3, 1•2•3•4,...
Функция
y = 1 + x + x 2 + x 3 + ...
определена для вещественных или комплексных значений x, модули которых меньше единицы. Ф. вида
y = p 0 x n + p 1 x n? 1 + p 2 x n? 2 + ... + p n? 1 x + p n ,
где коэффициенты p 0 , p 1 , p 2 , ... , p n данные числа, называется целой функцией n -ой степени. Она определена при всяком вещественном или комплексном x . Частное двух целых Ф. называется дробной функцией. Она определена для всех значений x, при которых знаменатель не обращается в нуль. Целые или дробные Ф. называются рациональными. Очень часто это название придают только дробным Ф. Если в выражении u v буква v есть Ф. от x, а u величина постоянная, то u v есть показательная Ф. Если же v ? постоянная, а u Ф. от x, то u v ? степенная Ф. Может случиться, что u и v одновременно Ф. от x. В таком случае u v называется степенно-показательной Ф. Определение этих Ф. вполне ясно из ст. Степень. Если в выражении y = a x , где a данное число, примем y за независимую переменную, то x называется логарифмической Ф. от y (см.). В тригонометрии встречаются Ф. тригонометрические и круговые (см.). Из других Ф. особого внимания заслуживают: шаровые (см.), цилиндрические ( Бесселевы, см.), эллиптические (см.) и ультраэллиптические (см.).
Д. С.