функции , математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции . Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие О. ф., с одной стороны, даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки (пространственная), плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т.д. С другой стороны, в понятии О. ф. находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физич. величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Таким образом, О. ф. служат удобным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Поэтому в иностранной литературе О. ф. называют распределениями.
О. ф. были введены впервые в конце 20-х гг. 20 в. П. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие дельта-функции и её производных. Основы математической теории О. ф. были заложены С. Л. Соболевым в 1936 при решении Коши задачи для гиперболич. уравнений, а в послевоенные годы французский математик Л. Шварц дал систематическое изложение теории О. ф. В дальнейшем теорию О. ф. интенсивно развивали многие математики, главным образом в связи с потребностями математической физики. Теория О. ф. имеет многочисленные применения и всё шире входит в обиход физика, математика и инженера.
Формально О. ф. определяются как линейные непрерывные функционалы над тем или иным линейным пространством основных функций j(x) . Основным пространством функций является, например, совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций, снабженная надлежащей сходимостью (или, точнее, топологией). При этом обычные локально суммируемые функции f (x) отождествляются с функционалами (регулярными О. ф.) вида
( f, j ) ò f (x)j(x) dx .(1)
Произвольная О. ф. f определяется как функционал f- , задаваемый равенством
(f¢, j) - (f, j¢). (2)
При таком соглашении каждая О. ф. бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле). Равенство (2) в силу (1) есть не что иное, как обобщение формулы интегрирования по частям для дифференцируемых в обычном смысле функций f (x) , так что в этом случае оба понятия производной совпадают.
Сходимость на (линейном) множестве О. ф. вводится как слабая сходимость функционалов. Оказывается, что операция дифференцирования О. ф. непрерывна, а сходящаяся последовательность О. ф. допускает почленное дифференцирование бесконечное число раз.
Вводятся и другие операции над О. ф., например свёртка функций , Фурье преобразование , Лапласа преобразование . Теория этих операций приобретает наиболее простую и законченную форму в рамках понятия О. ф., расширяющих возможности классического математического анализа. Поэтому использование О. ф. существенно расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.
Примеры. 1) d-функция Дирака:
(d, j) j(0),
описывает плотность массы (заряда) 1, сосредоточенной в точке х 0, единичный импульс.
2) q (x) - функция Хевисайда: q(x) 0, х £ 0, q(x) 1, x > 0, q' d;
производная от неё равна единичному импульсу.
3) -d' - плотность диполя момента 1 в точке х 0, ориентированного вдоль оси х .
4) mds - плотность простого слоя на поверхности S с поверхностной плотностью m:
5) - плотность двойного слоя на поверхности S с поверхностной плотностью момента n диполей, ориентированных вдоль направления нормали n :
.
6) Свёртка
- ньютонов потенциал с плотностью f , где f - любая О. ф. [например, из 1), 3), 4) и 5)].
7) Общее решение уравнения колебаний струны
задаётся формулой
u (х, t) f (x + at) + g (x - at),
где f и g - любые О. ф.
Лит.: Дирак П. А. М., Основы квантовой механики, пер. с англ., М.-Л., 1932; Soboleff S., Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations lineaires hyperboliques normales, 'Математический сборник', 1936, т. 1 (43), | 1 (резюме на рус. яз.); Schwartz L., Theorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51; Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщённые функции и действия над ними, 2 изд., М., 1959; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971.
В. С. Владимиров.